Zusammenhang Winkelfunktion Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für z, w ∈ C und t ∈ R gilt:

Text erkannt:

$\left|e^{i t}-1\right|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

Laut Satz $10.5 \mathrm{a})(i): e^{i z}=\cos z+i \sin z$
$|\cos t+i \sin t-1|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

Laut Def. 5.5 (ii): $|z|:=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$\left|\cos t+\sqrt{a^{2} 16^{2}} \cdot \sin t-1\right|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

Lavt $c_{1}(i v) \cos t=1-2 \sin ^{2}\left(\frac{z}{2}\right)$
$\begin{array}{l} \left|1-2 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right)+i \cdot \sin t-1\right|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right| \\ \left|-2 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right)+i \cdot \sin t\right|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right| \\ \left|-4 \sin ^{4}\left(\frac{t}{2}\right)-\sin ^{2} t\right|=4\left|\sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right)\right| \\ \left|-2 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \cdot 2 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right)-\sin ^{2} t\right|=4\left|\sin ^{2} \frac{t}{2}\right| \end{array}$
$(C)^{2}$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

$|\cos t+i \sin t-1|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

<=> $|\cos t - 1 +i \sin t|=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

<=> $\sqrt{ (\cos t - 1) ^2 + \sin^2 t }=2\left|\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right|$

alles nicht negativ, da kann ma quadrieren

<=> $(\cos t - 1) ^2 + \sin^2 t =4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $\cos^2 t -2\cos t + 1 + \sin^2 t =4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $1 -2\cos t + 1 =4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $2 -2\cos t =4\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$  |:2

<=> $1 -\cos t =2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $1 -\cos (\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) =2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

Additionstheorem anwenden

<=> $1 - (\cos^2 (\frac{t}{2}) -\sin^2(\frac{t}{2}) ) =2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $1 - \cos^2 (\frac{t}{2}) + \sin^2(\frac{t}{2}) ) =2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

<=> $\sin^2 (\frac{t}{2}) + \sin^2(\frac{t}{2}) ) =2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$

                          BINGO!

Answer 2

Vielleicht noch eine kürzere Lösung:

$$|\exp(it)-1|=|\exp(0.5it)||\exp(0.5it)-\exp(-0.5it)|=1 \cdot |2\sin(0.5t)|$$

Die Umformung der beiden Faktoren folgt jeweils aus Satz 105, wie von FS zitiert.