Aufgabe:
Aufgabe 5 (2 · 4 Punkte). Zeigen Sie:(a) Die Funktion f nimmt den Wert 2 an, wobei f : R → R, x → (x2 − 6x + 9)*sin(x2 + x) + x*cos(x − 3).Hinweis: Für welche x ∈ R können Sie mit unserem bisherigen Wissen überhaupt sin(x) und cos(x) bestimmen?(b) Die Gleichung exp(−2 − 2x) = 1/2 besitzt eine Lösung x ∈ [−1, 0]
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen,
wie geht man bei Aufgaben mit diesem Muster vor?
Bei (a) hatte ich mithilfe des Hinweises überlegt, ob ich die möglichen x vielleicht einschränken kann. Wir wissen ja die Werte für Sinus und Kosinus bei jeweils 1 und 0, jedoch habe ich für cos und sin keinen übereinstimmenden wert für x gefunden, die die Terme jeweils zu 1 oder 0 machen würden.
Bei (b) habe ich überlegt, mithilfe zwei Fällen zu zeigen, dass die Lösung x: (1) nicht kleiner als -1 und (2) nicht größer als 0 sein kann. Jedoch weiß ich nicht, wie man dass formal ordentlich zeigen kann. Kann mir jemand weiterhelfen?
Tipp zu a) Es ist f(0) = 0 und f(3) = 3.
Stimmt ja, so weit hatte ich nicht gedacht. Ich suche ja das x, für welches die Funktion den Wert 2 annimmt. Die Nullstellen von dem Term ist doppelt die 3 daher ist der vordere Term Null für x=0 und x=3 und das Gleiche gilt für den hinteren Term. Aber was fange ich jetzt damit an?
Du sollst nur zeigen, dass ein x0 mit f(x0) = 2 existiert. Es ist nicht notwendig, ein solches explizit anzugeben. Wende statt dessen den Zwischenwertsatz an.
Vielen Dank! Löst man die (b) auch mithilfe des Zwischenwertsatzes, indem man zeigt dass f(-1) > 1/2 > f(0)? Leider ist hier f(0) < 1/2 nicht so einfach zu zeigen ohne Taschenrechner. Möglicherweise mit einer Abschätzung oder so?
Ja, (b) funktioniert ähnlich. Bekanntlich ist e > 2, also e2 > 4. Damit ist f(0) = e-2 < 1/4 < 1/2.
Aloha :)
zu a)f(x)=(x2−6x+9)⋅sin(x2+x)+x⋅cos(x−3)=?2\quad f(x)=(x^2-6x+9)\cdot\sin(x^2+x)+x\cdot\cos(x-3)\stackrel?=2f(x)=(x2−6x+9)⋅sin(x2+x)+x⋅cos(x−3)=?2
Es ist f(0)=0f(0)=0f(0)=0 und f(3)=3f(3)=3f(3)=3.
Da die Funktion stetig ist, wird nach dem Zwischenwertsatz im Intervall x∈[0;3]x\in[0;3]x∈[0;3] jeder Funktionswert zwischen f(0)=0f(0)=0f(0)=0 und f(3)=3f(3)=3f(3)=3 angenommen.
Also gibt es ein x0∈(0;3)x_0\in(0;3)x0∈(0;3) mit f(x0)=2f(x_0)=2f(x0)=2.
zu b)f(x)=e−2−2x=?12\quad f(x)=e^{-2-2x}\stackrel?=\frac12f(x)=e−2−2x=?21
f(−1)=1 ; f(0)=1e2<12 ; Funktion stetig ⟹ ZWSf(-1)=1\;;\;f(0)=\frac{1}{e^2}<\frac12\;;\;\text{Funktion stetig}\stackrel{\text{ZWS}}{\implies}f(−1)=1;f(0)=e21<21;Funktion stetig⟹ZWSEs gibt ein x0∈(−1;0) mit f(x0)=12\text{Es gibt ein }x_0\in(-1;0)\text{ mit }f(x_0)=\frac12Es gibt ein x0∈(−1;0) mit f(x0)=21
zu a) f nimmt für x≈ - 0,176 und für x≈0,2387 den Wert 2 an sowie an vielen weiteren Stellen.
zu b) Setze x= -1 und bestimme e0.
Meinst du das allen Ernstes?
Nein, wurde nachgebessert.
Wo denn?
So könnte es gehen:
e−2−2x=12 e^{−2 − 2x}=\frac{1}{2} e−2−2x=21 besitzt eine Lösung x ∈ [−1, 0]
e−2−2x=12 e^{−2 − 2x}=\frac{1}{2} e−2−2x=21
e−(2+2x)=12 e^{−(2+2x)}=\frac{1}{2} e−(2+2x)=21
1e2+2x=12 \frac{1}{ e^{2+2x}}=\frac{1}{2} e2+2x1=21
e2+2x=2∣lne^{2+2x}=2 | ln e2+2x=2∣ln mit lne=1 ln e=1 lne=1
2x=ln2−22x=ln 2-22x=ln2−2
x=12⋅ln2−1x=\frac{1}{2}\cdot ln 2-1x=21⋅ln2−1
x=ln(212)−1x= ln (2^{\frac{1}{2}})-1x=ln(221)−1
Nun ist 1<2<21< \sqrt{2}<2 1<2<2 → ln1<ln2<ln2ln1< ln\sqrt{2}<ln2 ln1<ln2<ln2 → 0<ln2<ln20< ln\sqrt{2}<ln2 0<ln2<ln2 →x∈[−1,0]x ∈ [−1, 0]x∈[−1,0]
Leider dürfen wir den ln nicht verwenden :(
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