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Aufgabe:

Sei die Gruppe G = \((M, *)\) mit \(M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\) durch folgende Gruppentafel gegeben:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \star & {\mathbf{a}} & {\mathbf{b}} & {\mathbf{c}} & {\mathbf{d}} & {\mathbf{e}} & {\mathbf{f}} & {\mathbf{g}} & {\mathbf{h}} \\ \hline \mathbf{a} & {a} & {b} & {c} & {d} & {e} & {f} & {g} & {h} \\ \hline \mathbf{b} & {b} & {c} & {d} & {a} & {h} & {e} & {f} & {g} \\ \hline \mathbf{c} & {c} & {d} & {a} & {b} & {g} & {h} & {e} & {f} \\ \hline {\mathbf{d}} & {d} & {a} & {b} & {c} & {f} & {g} & {h} & {e} \\ \hline {\mathbf{e}} & {e} & {f} & {g} & {h} & {a} & {b} & {c} & {d} \\  \hline {\mathbf{f}} & {f} & {g} & {h} & {e} & {d} & {a} & {b} & {c} \\ \hline {\mathbf{g}} & {g} & {h} & {e} & {f} & {c} & {d} & {a} & {b} \\ \hline  {\mathbf{h}} & {h} & {e} & {f} & {g} & {b} & {c} & {d} & {a} \\ \hline\end{array}

a) Bestimmen Sie für die Elemente c und d die Ordnung und das inverse Element.

b) Geben Sie all Untergruppen von G mit zwei Elementen an. Gibt es eine Untergruppe mit drei Elementen?


Problem/Ansatz:

a) Neutrales Element ist a, weil jeweils a*x=x. Also inverses von c ist das, welches auf a abbildet: c*c=a. Also ist c zu sich selbst invers. Dann d: d*b = a, also ist b das inverse von d.

Nun meine Frage: Wie kriege ich nun die Ordnung der beiden Elemente heraus und woher weiß ich, ob es Untergruppen mit 2 oder 3 Elementen gibt?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

c ist zu sich selbst invers, hat also die Ordnung 2.

Die Ordnung ist immer der kleinste Exponent mit x^n = a (neutr. El.)

und bei d ist das erst bei d^4 der Fall, also Ord=4.

Die Untergruppen mit 2 Elementen bestehen immer

aus dem neutralen und einem zu sich inversen El, also z.B

bilden a und c eine solche.

Die Anzahl der Elemente einer Untergruppe

muss immer ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Also keine 3er-Untergruppen.

von 176 k 🚀

Danke dir! Jetzt habe ich alles verstanden.

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