Vollständige Induktion 12×22×32×…×nn≤n×(n×(n+1))/2

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion 1²×2²×3²×…×nⁿ≤n×(n×(n+1))/2

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Text erkannt:

$1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot n^{n} \leq n \frac{n \cdot(n+1)}{2}$

Die soll mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Comments

Soll es vielleicht $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ heißen?

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Puh, in der Aufgabe steht tatsächlich genau das, was ich abfotografiert habe. Aber es macht anders gar keinen Sinn. Es muss so heißen, wie du es sagtest.

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Ich denke hier eher an sowas:

$1^1\cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n \leq n^{\frac{n(n+1)}2}$

Das ist zwar ziemlich trivial. Kommt mir aber ziemlich nahe an die wahrscheinlich "verunglückte" Aufgabenstellung.

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion 1¹*2²*3³*...nⁿ kleiner oder gleich n^(n*(n+1)/2) sein

Stichworte: vollständige-induktion

Aufgabe:

$1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 4^{4} \ldots \cdot n^{n} \leq n^{\frac{n \cdot(n+1)}{2}}$

Diese Aufgabe ist mit vollständiger Induktion zu lösen. Sie ist zwar trivial aufgrunddessen, dass die Exponenten 1,2,3,...,n sind, soll aber dennoch als Übung gelten.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Vollstandige Indestion
Indultiousanfay: Wir behauptadass die explisk Fasury yar $n=1$ stinat.
$\begin{array}{l} 1^{2} \leq 1^{\frac{1 \cdot(1+1)}{2}} \\ 1=1 \end{array}$
$\begin{aligned} 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{0} \cdot n^{n} \cdot(n+1)^{(n+1)} & \leq(n+1)^{\frac{(n+1) \cdot(n+1)+1)}{2}} \\ & \leq(n+1)^{(n+1) \cdot(n+2)} \\ & \leq(n+1)^{\frac{n^{2}+3 n+2}{2}} \end{aligned}$
gilt dies auch yir $n+1$.
$\begin{array}{l} 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot \ldots \cdot n^{n} \cdot(n+1)^{(n+1)} \leq \underbrace{1 \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \ldots \cdot n^{n}}_{n \cdot(n+1)} \cdot(n+1)^{(n+1)} \\ \leq\left(n^{\frac{n \cdot(n+1)}{2}}\right) \cdot(n+1)^{(n+1)} \\ \leq \\ \leq \\ \leq \\ \end{array}$

Ich komme hier bei dem Induktionsschritt leider nicht weiter.

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Warum liest du das, was du absendest, nicht durch? In der Texterkennung kann man noch einiges verbessern!

Answer 1

Die Aussage ist falsch, wie du zum Beispiel durch Einsetzen von $n=3$ feststellen kannst.

Comments

Aber 14 < 18 passt für n=3

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$1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 32 \neq 14$

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$1^2\cdot2^2\cdot 3^3 = 32$

Kann nicht sein.

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Es handelt sich hierbei nur um die Quadratzahlen, wir haben also nicht 3³ sondern 3² und dann sich es 14

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@Arsinoé4 OK $1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^3 = 108 \neq 14$

@Lara1906 $n^n$ erweckt nicht den Eindruck, dass es sich nur um Quadratzahlen handelt.

Answer 2

$1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot n^{n} \leq n \frac{n \cdot(n+1)}{2}$ ist mit Sicherheit nicht allgemeingültig. Selbst $1^2·2^2·3^2·\ldots·n^2$≤ n·$\frac{n(n+1)}{2}$ ist nicht allgemeingültig.        

Comments

Für welche $n$ gilt denn letztere Ungleichung nicht?

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Da war der Wurm drin. Danke für den Hinweis.

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Ich habe meinen Dozenten noch einmal angeschrieben. Er antwortet leider nicht, aber ich bin der Meinung, dass nur das zweite Sinn ergibt. Ich habe auch schon den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung aufgestellt. Bin mir aber nicht sicher, wie ich den Induktionsschritt machen soll. Kann mir da jemand helfen?

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Wenn $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ gemeint ist, kann man auf vollständige Induktion verzichten und direkt $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ≤$\frac{n^2(n+1)}{2}$ beweisen.

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Das stimmt natürlich. Nur die Aufgabe fordert tatsächlich explizit nach vollständiger Induktion und bei mir kommt im Induktionsschritt irgendwie glaube ich etwas verkehrtes raus.

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Text erkannt:

Vollständige Indection
Indultionsantay: Wir behaptandas die eylisk Fasuay yur $n=1$ sinat.
$\begin{array}{l} 1^{2} \leq 1 \cdot \frac{1 \cdot(1+1)}{2} \\ 1=1 \end{array}$
$\begin{aligned} 1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdots n^{2} \cdot(n+1)^{2} & \leq(n+1) \cdot \frac{(n+1) \cdot((n+1)+1)}{2} \\ & \leq(n+1) \cdot \frac{(n+1) \cdot(n+2)}{2} \\ & \leq(n+1) \cdot \frac{n^{2}+3 n+2}{2} \\ & \leq \frac{n 3+4 n^{2}+5 n+2}{2} \end{aligned}$
gilt dies auch yir $n+1$.
$\begin{array}{l} 1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot n^{2} \cdot(n+1)^{2} \leq \underbrace{1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \ldots \cdot n^{2}}_{\text {Gagethe Gaichug eivetan }} \cdot(n+1)^{2} \\ \leq\left(n \frac{n \cdot(n+1)}{2}\right) \cdot(n+1)^{2} \\ \leq n \cdot \frac{n^{2}+n}{2} \cdot\left(n^{2}+2 n+1\right) \\ \leq n \cdot \frac{n^{4}+3 n^{3}+3 n^{2}+n}{2} \\ \leq \frac{n^{5}+3 n^{4}+3 n^{3}+n^{2}}{2} \\ \end{array}$

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Schreib bitte deinen Induktionsschritt auf, dann finde ich den möglichen Fehler. Hat sich erledigt.

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Mein Dozent hat nun geantwortet. Gemeint ist folgender Ausdruck:

Text erkannt:

$1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 4^{4} \ldots \cdot n^{n} \leq n^{\frac{n \cdot(n+1)}{2}}$

Ich habe bereits folgendes hinbekommen. Komme hier nur leider nicht weiter.

Text erkannt:

Vollstandige Indestion
Indultiousanfay: Wir behauptadass die explisk Fasury yar $n=1$ stinat.
$\begin{array}{l} 1^{2} \leq 1^{\frac{1 \cdot(1+1)}{2}} \\ 1=1 \end{array}$
$\begin{aligned} 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{0} \cdot n^{n} \cdot(n+1)^{(n+1)} & \leq(n+1)^{\frac{(n+1) \cdot(n+1)+1)}{2}} \\ & \leq(n+1)^{(n+1) \cdot(n+2)} \\ & \leq(n+1)^{\frac{n^{2}+3 n+2}{2}} \end{aligned}$
gilt dies auch yir $n+1$.
$\begin{array}{l} 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot \ldots \cdot n^{n} \cdot(n+1)^{(n+1)} \leq \underbrace{1 \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \ldots \cdot n^{n}}_{n \cdot(n+1)} \cdot(n+1)^{(n+1)} \\ \leq\left(n^{\frac{n \cdot(n+1)}{2}}\right) \cdot(n+1)^{(n+1)} \\ \leq \\ \leq \\ \leq \\ \end{array}$

Answer 3

Es gilt doch auf jedenfall $n^{\frac{n(n+1)}{2}} \leq (n+1)^{\frac{n(n+1)}{2}}$ und dann Potenzgesetz anwenden und zusammenfassen.

Answer 4

Induktionsschritt: n → n + 1

1¹·2²·3³·...·(n + 1)^(n + 1) ≤ n^(n·(n + 1)/2)·(n + 1)^(n + 1)
1¹·2²·3³·...·(n + 1)^(n + 1) ≤ (n + 1)^(n·(n + 1)/2)·(n + 1)^(n + 1)
1¹·2²·3³·...·(n + 1)^(n + 1) ≤ (n + 1)^(n·(n + 1)/2 + (n + 1))
1¹·2²·3³·...·(n + 1)^(n + 1) ≤ (n + 1)^((n² + 3·n + 2)/2)
1¹·2²·3³·...·(n + 1)^(n + 1) ≤ (n + 1)^((n + 1)·(n + 2)/2)