Weiß wer bei diesem Beispiel einen Ansatz?

Question

Hallo, weiß wer bei diesem Beispiel einen Ansatz? Wie gehe ich da beim Rechenweg vor?

Text erkannt:

5. Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert als
\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls } x \in(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \cup\{0\}, \\ \frac{1}{n}, & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \backslash\{0\}, x=\frac{m}{n} \text { mit } n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{Z}, \operatorname{ggT}\{m, n\}=1 . \end{array}\right. \)

Zeige, dass \( f \) in jedem irrationalen Punkt stetig ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass es zu jeder irrationalen Zahl \( x \) und vorgegebenen \( \epsilon>0 \) ein Intervall \( (x-\delta, x+\delta) \) derart gibt, dass wenn \( \frac{p}{q} \in(x-\delta, x+\delta) \cap \mathbb{Q} \) sicher \( \frac{1}{|q|}<\epsilon \). Dazu betrachte man eine natürliche Zahl \( m \geq 1+\frac{1}{\epsilon} \) und die Menge \( \frac{1}{m !} \mathbb{Z} \) als Teilmenge von \( \mathbb{R} \) und zeige, dass diese abgeschlossen und infolge ihr Komplement offen ist.

Comments

Hallo

Da steht doch eine sehr genaue Anweisung, wie du vorgehen musst? Warum fängst du nicht damit an?

Gruß lul

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Das versuche ich eh, aber ich komm da irgendwie nicht drauf..

Answer 1

Sei x eine positive irrationale Zahl, e>0 sei vorgegeben. Wir wählen \(m \in \N\) mit \(m>1/e\). Dann existiert genau ein \(k \in \Z\) mit

$$\frac{k}{m!}<x<\frac{k+1}{m!}$$

Wenn nun ein Bruch ebenfalls diese Ungleichungen erfüllt, so

$$\frac{k}{m!}<\frac{p}{q}<\frac{k+1}{m!} \Rightarrow k<p \frac{m!}{q}<k+1$$

Wenn \(q \leq m\) ist, dann ist \( (m!)/q\) eine ganze Zahl, also auch \(p(m!)/q\),die aber nicht zwischen k und k+1 "passt". Also ist gezeigt:

$$\frac{k}{m!}<\frac{p}{q}<\frac{k+1}{m!} \Rightarrow q>m>1/e \Rightarrow 1/q <e$$

Um den Auftrag formal abzurunden, ist noch ein hinreichend kleines d>0 zu wäghlen, so dass

$$(x-d,x+d) \sub \left(\frac{k}{m!},\frac{k+1}{m!}\right)$$