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Wir betrachten die Relation " \( \equiv(\bmod 3) \) " und definieren eine Addition und Multiplikation von Restklassen wie folgt:
\( [a]+[b]=[a+b], \quad[a] \cdot[b]=[a \cdot b] \)
Die Additions- bzw. Multiplikationstafel für diese Operationen sind also wie folgt.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline+ & {\( [0] \)} & [1] & {\( [2] \)} & . & {\( [0] \)} & {\( [1] \)} & {\( [2] \)} \\
\hline [0] & {\( [0] \)} & [1] & [2] & {\( [0] \)} & {\( [0] \)} & {\( [0] \)} & {\( [0] \)} \\
\hline [1] & [1] & {\( [2] \)} & {\( [0] \)} & {\( [1] \)} & {\( [0] \)} & {\( [1] \)} & {\( [2 \)} \\
\hline [2] & {\( [2] \)} & {\( [0] \)} & [1] & {\( [2] \)} & {\( [0] \)} & {\( [2] \)} & {\( [1 \)} \\
\hline
\end{tabular}
(a) Bestimmen Sie die Additions- und Multiplikationstafel für " \( \equiv(\bmod 5) \) ".
(b) Verifizieren Sie, dass \( [a] \cdot[1]=[a] \) für alle \( 0 \leq a<5 \) gilt.
(c) Bestimmen Sie die Tafeln für " \( \equiv(\bmod 6) \) ". Was fällt im Vergleich zu den Tafeln modulo 5 auf?
(d) Für die Relation " \( \equiv(\bmod 227) \) ", suchen Sie eine Restklasse \( [x] \) für die gilt, dass \( [42] \cdot[x]=[1] \) ist. Hinweis: Verwenden Sie den erweiterten Euklid'schen Algorithmus um Zahlen \( x, y \) zu finden für die \( 42 x+227 y=1 \) gilt, und betrachten Sie die Restklasse \( [x] \).
Also das ist die ganze Frage Bis auf die b gibt es kein Problem.
