Sei x=m2a2, y=m-m2a2 und z=1-m2a. Welche rationale Beziehung besteht zwischen a und m≠0, damit x3+y3+z3=1?
...
\( 3 a^{4} m^{5}-a^{3} m^{6}-3 a m^{2}+m^{3} =0\)
\( 3 am^2(a^3 m^3-1)-m^3(a^{3} m^3-1) =0\)
\( (3 am^2-m^3)(a^{3} m^3-1) =0\)
\(m^2 (3 a-m)(a^{3} m^3-1) =0\)
Da m ≠ 0 ist, muss einer der Klammerterme gleich Null sein.
m=3a oder m=1/a
Es gibt unendlich viele relle Lösungen.
Wenn man alles einsetzt und die Klammern auflöst wird aus x3+y3+z3=1
nach dem Zusammenfassen die Gleichung
\( 3a^4m^5-a^3m^6-3am^2+m^3=0 \)
Da m≠0 kann man dividieren durch m^2 und hat
\( 3a^4m^3-a^3m^4-3a+m=0 \)
<=> \( m^3a^3 (3a-m)-(3a-m)=0 \)
<=> \( (m^3a^3-1) (3a-m)=0 \)
Das ist sicherlich erfüllt, wenn m=3a gilt.
Substituiere
z = m^3*a^3
und faktorisiere
z^3 - 1 = (z - 1)·(z^2 + z + 1)
Das ist sicherlich erfüllt, wenn m=3a gilt....und wenn am=1 gilt.
Wer ist jetzt b ?
Mein blöder Fehler wurde von mir korrigiert.
Ist der nicht-korrigierte Fehler nicht blöd ?
Also wohl so:
Das ist genau dann erfüllt, wenn m=3a oder am=1 gilt.
Wenn man sich die Aufgabe genau durchliest, dann reicht da meines Erachtens schon der Hinweis, dass \(a, m\neq 0\) gilt und es eine rationale Beziehung zwischen \(m\) und \(a\) gibt. Der Hinweis suggeriert, dass entweder \(a\), \(m\) oder das Produkt \(am\) in dieser Beziehung im Nenner vorkommen. Ansonsten wäre die Einschränkung überflüssig bzw. die Lösung der Aufgabe auch trivial, weil dann \(x=y=0\) und \(z=1\) gilt.
Vermutung: \(m=\frac{1}{a}\) bzw. \(a=\frac{1}{m}\). Das ist der einfachste rationale Zusammenhang zwischen den beiden Variablen und wenn man das nachrechnet geht das auch sofort auf, denn dann ist \(x=1\) und \(y=-z\) und somit die Bedingung erfüllt.
\(a=\frac{1}{m}\). Das ist der einfachste rationale Zusammenhang
m=3a ist auch nicht komplizierter.
Der Hinweis suggeriert, dass entweder \(a\), \(m\) oder das Produkt \(am\) in dieser Beziehung im Nenner vorkommen.
Immer wieder schön, wenn man nur die Hälfte liest. ;)
Aber gut, dieser eher "naive" Ansatz liefert natürlich keine weiteren Lösungen.
Wie kommt man darauf? Wie kann man die Aufgabe am schnellsten oder elegantesten lösen?
Wie kommt man darauf?
Man ist in der Lage, (a³m³-1)=0 zu interpretieren.
ggT22, deine Frage wird durch die Lösung von mathef insofern beantwortet, als es den 'schnellen' Weg nicht gibt (wie so oft im Leben). Leider vergisst mathef in der letzten Zeile, eine mögliche Beziehung zu notieren. Sonst wäre es die beste Lösung gewesen.
Wie ich darauf gekommen bin, habe ich ja erläutert. Das war in dem Fall wirklich kurz überlegen und ausprobieren. Den Standardansatz über das stupide einsetzen wollte ich nicht machen. Aber klar, dadurch fehlt natürlich die andere Lösung.
(m^2·a^2)^3 + (m - m^2·a^2)^3 + (1 - m^2·a)^3 = 1
3·a^4·m^5 - a^3·m^6 - 3·a·m^2 + m^3 = 0
m^2·(3·a - m)·(a·m - 1)·(a^2·m^2 + a·m + 1) = 0
a = m/3
a = 1/m
a^2·m^2 + a·m + 1 = 0 → Keine reelle Lösung
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