Aufgabe:
In welchen Punkten \(x+iy \in \mathbb{C}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\) ist
$$f(x+iy) := x^3y^2 +ix^2y^3$$ komplex differenzierbar? Wie lautet die maximale Teilmenge von \(\mathbb{C}\), auf der f holomorph ist?
Problem/Ansatz:
Ich habe mir hierzu folgendes überlegt:
Da wir hier eine Funktion komplex differenzieren möchten, müssen wir zunächst anhand der Cauchy-Riemann-Gleichungen überprüfen, ob diese Funktion denn überhaupt komplex differenzierbar ist.
Zunächst bestimmen wir den Real- und Imaginärteil der Funktion: \(u(x,y) + iv(x,y)\)
$$u(x,y) = x^3y^2$$
$$v(x,y) = x^2y^3$$
Die Cauchy-Riemann-Gleichungen ergeben dann:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2y^2 \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 2x^3y \\ \frac{\partial v}{\partial x} = 2xy^3 \\ \frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2y^2$$
Daraus folgt:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2y^2 = \frac{\partial v}{\partial y} \checkmark$$
$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow 2x^3y = -2xy^3$$
Nachdem man \(2xy\) ausklammert, folgt:
\(\Rightarrow x^2 = y^2 \Rightarrow x = y\) bzw. \(y = x\).
Bedeutet das nun, dass diese Funktion überall entlang der Winkelhalbierenden \(y=x\) komplex differenzierbar ist?
Denn wenn dem so ist, dann ist die Funktion doch an jedem Punkt \(z \in \{z=x+iy \mid x = y\} \subset \mathbb{C}\), oder?
Wäre dies dann nicht die maximale Teilmenge von \(\mathbb{C}\), auf der f holomorph, also analytisch ist?
Falls ich komplett daneben liege, würde es mich freuen, wenn ihr detailliert antwortet. Ich möchte nämlich die Gedankengänge nachvollziehen.
