0 Daumen
54 Aufrufe

Aufgabe:

In welchen Punkten \(x+iy \in \mathbb{C}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\) ist

$$f(x+iy) := x^3y^2 +ix^2y^3$$ komplex differenzierbar? Wie lautet die maximale Teilmenge von \(\mathbb{C}\), auf der f holomorph ist?


Problem/Ansatz:

Ich habe mir hierzu folgendes überlegt:

Da wir hier eine Funktion komplex differenzieren möchten, müssen wir zunächst anhand der Cauchy-Riemann-Gleichungen überprüfen, ob diese Funktion denn überhaupt komplex differenzierbar ist.


Zunächst bestimmen wir den Real- und Imaginärteil der Funktion: \(u(x,y) + iv(x,y)\)


$$u(x,y) = x^3y^2$$

$$v(x,y) = x^2y^3$$


Die Cauchy-Riemann-Gleichungen ergeben dann:


$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2y^2 \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 2x^3y \\ \frac{\partial v}{\partial x} = 2xy^3 \\ \frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2y^2$$


Daraus folgt:


$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2y^2 = \frac{\partial v}{\partial y} \checkmark$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow 2x^3y = -2xy^3$$

Nachdem man \(2xy\) ausklammert, folgt:

\(\Rightarrow x^2 = y^2 \Rightarrow x = y\) bzw. \(y = x\).


Bedeutet das nun, dass diese Funktion überall entlang der Winkelhalbierenden \(y=x\) komplex differenzierbar ist?


Denn wenn dem so ist, dann ist die Funktion doch an jedem Punkt \(z \in \{z=x+iy \mid x = y\} \subset \mathbb{C}\), oder?

Wäre dies dann nicht die maximale Teilmenge von \(\mathbb{C}\), auf der f holomorph, also analytisch ist?


Falls ich komplett daneben liege, würde es mich freuen, wenn ihr detailliert antwortet. Ich möchte nämlich die Gedankengänge nachvollziehen.

von

1 Antwort

+1 Punkt

Hallo

 deine Rechnung und Argumente sind richtig, nur y=-x hast du vergessen.

Gruß lul

von 23 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...