Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des Extremums minimal wird.

Question

Aufgabe:

Exponentielle Funktionenschar

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=1/a-1 × (1-x)·e^(a-x), a ∈ R, a > 1.

a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von f2. Zeigen Sie, dass f₂(x)→0 für x→∞ gilt.

Untersuchen Sie das Verhalten von f₂(x) für x → -∞

b) Untersuchen Sie f₂ auf Extrema.

c) Begründen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, dass f₂ einen Wendepunkt haben muss. Zeichnen Sie den Graphen von f₂ in ein geeignetes Koordinatensystem.

d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, den der Graph von f₂ mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten einschließt.

e) Weisen Sie nach, dass sowohl die x-Koordinate des Extremums als auch die Art des Extremums unabhängig von der Wahl des Parameters a sind. Bestimmen Sie die Extremalkoordinaten für allgemeines a.

f) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des Extremums minimal wird.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösungen für a, b und d aber c, e und f kriege ich nicht hin.

Kann mir jemanden bitte helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Deine Schar macht keinen Sinn. Sollte da stehen

... = 1 / (a-1) ...

?

Answer 1

$f_a(x)= \frac{(1-x)·e^{a-x}}{a-1}$   $a ∈ ℝ, a > 1$

a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von $f_2(x)$:

$f_2(x)= (1-x)·e^{2-x}$  

Nullstellen:

$(1-x)·e^{2-x}=0$ 

$x=1$

$e^{2-x}=0$      $e^2 \cdot e^{-x}= 0$       $e^{-x}= 0$   Es gibt keine Lösung.

Schnitt mit der y-Achse:

$f(0)= e^{2}$ 

Zeigen Sie, dass f₂(x)→0 für x→∞ gilt:

$(1-x)·e^{2-x} =(1-x)·e^{2}\cdot e^{-x}=\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}}$ 

Mit der Regel von l'Hospital:

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-e^{2}}{e^{x}}=0$

Untersuchen Sie das Verhalten von f₂(x) für x → -∞

$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^{2}(1-x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{-e^{2}}=∞$

b) Untersuchen Sie f₂ auf Extrema.

$f(x)= (1-x)·e^{2-x}$ 

$f'(x)= -e^{2-x}+(1-x)·e^{2-x}· (-1)$

$f'(x)= -e^{2-x}+(x-1)·e^{2-x}=e^{2-x}(x-2)$

$e^{2-x}(x-2)=0$

$x=2$    $f(2)= -1$

Art des Extremwertes:

$f'(x)= e^{2-x}(x-2)$

$f''(x)= e^{2-x}\cdot(-1)(x-2)+e^{2-x}\cdot(1)$

$f''(x)= e^{2-x}\cdot(2-x)+e^{2-x}$

$f''(x)= e^{2-x}\cdot(3-x)$

$f''(2)=1\cdot(1)>0$  Minimum

c) Begründen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, dass f₂ einen Wendepunkt haben muss.

Das Minimum hat die Koordinaten $(2|-1)$

Da $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-e^{2}}{e^{x}}=0$ gilt, und keine weitere Nullstelle bis auf $x=1$ existiert, muss es einen

Wendepunkt geben.

d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, den der Graph von f₂ mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten einschließt.

$A=\int\limits_{0}^{1} (1-x)·e^{2-x}dx$

$2-x=u$     → $x=2-u$    →   $\frac{dx}{du}=-1$ →

$dx=-du$

$A=\int\limits_{1}^{2} (1-u)·e^{u}du=\int\limits_{1}^{2} e^{u}du-\int\limits_{1}^{2}u e^u du$

Einschub:

$\int\limits_{1}^{2}u e^u du$

Partiell integrieren:

 $\int\limits_{1}^{2}u e^u du=u e^u-\int\limits_{1}^{2}e^u du=[u e^u]_{1}^{2} -[e^u]_{1}^{2}=2e^2-e- [e^2-e]=e^2$

$A=\int\limits_{1}^{2} (1-u)·e^{u}du=e^2-e -e^2=|-e|=e$

e) Weisen Sie nach, dass sowohl die x-Koordinate des Extremums als auch die Art des Extremums unabhängig von der Wahl des Parameters a sind. Bestimmen Sie die Extremalkoordinaten für allgemeines a.

$f_a(x)= \frac{(1-x)·e^{a-x}}{a-1}$

$f_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(1-x)\cdot e^{a-x}]$

$f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(-1)\cdot e^{a-x}+(1-x)\cdot e^{a-x}\cdot (-1)]$

$f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(-1)\cdot e^{a-x}+(x-1)\cdot e^{a-x} ]$

$f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(x-2) ]$

$\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(x-2) ]=0$

$e^{a-x}(x-2) =0$

$e^{a-x} ≠0$

$x =2$

$f_a(2)= \frac{(1-2)·e^{a-2}}{a-1}= \frac{(-1)·e^{a-2}}{a-1}= \frac{e^{a-2}}{1-a}$

Da $a>1$ ist die y-Koordinate immer $<0$

$f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ (-1) \cdot e^{a-x}(x-2)+e^{a-x} ]$

$f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(2-x)+e^{a-x} ]$

$f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}\cdot(3-x) ]$

Art des Extremum an der Stelle $x=2$

$f''_a(2)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2}\cdot(3-2) ]$

$f''_a(2)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2} ]$

Da $a > 1$  ist $\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2} ]>0$ Somit liegt immer ein Minimum vor.

Extremalkoordinaten für allgemeines a.:

$E(2| \frac{(1-2)·e^{a-2}}{a-1})$

$E(2| -\frac{e^{a-2}}{a-1})$

f) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des Extremums minimal wird.

$f(a)=-\frac{e^{a-2}}{a-1}=\frac{e^{a-2}}{1-a}$  soll minimal werden

$\frac{df(a)}{da}=\frac{e^{a-2}\cdot (1-a)-e^{a-2}\cdot(-1)}{(1-a)^2}=\frac{e^{a-2}\cdot(2-a)}{(1-a)^2}$ 

$\frac{e^{a-2}\cdot(2-a)}{(1-a)^2}=0$

$2-a=0$

 $a=2$

Answer 2

c) Du hast einen Tiefpunkt bei x=2 mit negativem y-Wert und für x→∞ ist der

Grenzwert 0. Also ist der Graph für große Werte von x rechtsgekrümmt.

Im Tiefpunkt ist er linksgekrümmt, also gibt es irgendwo bei x>2 einen WP.

e) Es ist doch f ' (x) = 0 nur für x=2 (egal welches a)

und es ist f ' ' (2) = e^(a-2) / (a-1) für alle a>1 positiv,

also ist der Extrempunkt immer ein Tiefpunkt.

Seine y-Koordinate ist f(2) =  - e^(a-2) / (a-1)

f)  Der Betrag der y-Koordinate ist g(a)= e^(a-2) / (a-1).

Von dieser Funktion brauchst du das Minimum.

Also bilde g ' (a) = $\frac{(a-2)e^{a-2}}{(a-1)^2}$

Das ist 0 für a=2. Mit g ' ' (2) wirst du wohl auch

herausfinden, dass das ein Minimum von g ist.