Wieso sind die Lösungen der DGL nicht eindeutig?

Question

Aufgabe:

gegeben sei das Vektorfeld k: ℝ→ℝ mit k(x)=\( \sqrt{|x|} \), gesucht ist eine Lösung s: ℝ→ℝ für s'=k(s) mit s(0)=-1

Wieso sind die Lösungen nicht eindeutig, woran lässt sich dies erkennen?
Problem/Ansatz:

Trennung der Variablen

Answer 1

Eindeutigkeit garantiert der Satz von Picard Lindelöf. Zentrale Bedingung für die Eindeutigkeit ist, dass k (lokal) Lipschitz-stetig ist. Das ist hier für x=0 verletzt. Wenn eine Lösung der Dgl zu einem Punkt t_0 den Wert x(t_0)=0 erreicht, kann sie auf verschiedene Weise fortgesetzt werden. Eine triviale Fortsetzung ist x(t)=0.

Lösungen (Dgl mit getrennten Veränderlichen)

$$s(t):=-0.25(t-2)^2 \text{  für } t\leq 2 \qquad s(t):=0 \text{  für }t \geq 2$$

ODER (z.B.)

$$s(t):=-0.25(t-2)^2 \text{  für } t\leq 2 \qquad s(t):=+0.25(t-2)^2 \text{  für }t \geq 2$$

(korrigiert)

Comments

Was wäre denn die Lösung konkret für den Anfangswert s(0)=-1, wird dann überhaupt hierbei x(t_0)=0 erreicht?

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Das ist eine Dgl vom Typ "getrennte Veränderliche". Die kannst Du doch sicher lösen. Oder?

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Ja, also für s(t)=+/-(1/4t^2-1), wenn dies passt, Stammfunktion \( \frac{2x}{\sqrt{|x|}} \)+c

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Ich habe da etwas Anderes berechnet, musst Du mal prüfen. Ich habe meine Antwort ergänzt. Was Du mit "Stammfunktion ..." sagen willst, verstehe ich nicht.

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Ok danke hast du die Anfangsbedingung von s(0)=-1 verwendet?

Wie kommst du auf zwei Lösungen?

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Rechne nach, ob bei meiner Lösung s(0)=-1 ist.

Naja, die Dgl hat doch offensichtlich eine Lösung s(t)=0. An Stellen, wo keine eindeutige Lösung garantiert ist, kann ich diese triviale Lösung mit einer nichttrivialen zusammensetzen.

PS: In meiner Lösung war noch ein Vorzeichenfehler, habe ich korrigiert.

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Wie viele Lösungen exisitieren dann und wie würde dies grafisch in einem Raum-Zeit Diagramm aussehen?

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ok, ich bin jetzt auch auf dieselbe Lösung(en) gekommen, wie viele Lösungen existieren nun insgesamt und wie lassen sich diese darstellen?

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Es existieren unendlich viele Lösungen: Die Darstellung für t <=2 ist durch die Anfangsbedingung festgelegt. Dann kannst Du s(t)=0 für t in [0,a] setzen und mit

s(t)=0.25(t-a)^2

fortsetzen. Da a beliebig ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

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Aber für den Anfangswert gibt es nur eine bestimmte Anzahl an Lösungen und wie könnte man dies grafisch darstellen?

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Du musst unterscheiden: Global, also auf ganz \(\R\) gibt es unendliche viele Lösungen. Lokal, also in einer Umgebung des Anfangspunkts (0,-1) gibt es nur eine eindeutige Lösung.

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ok und was wären somit alle Lösungen der DGL zum Anfangswert s(0)=-1 und kann man diese grafisch darstellen?

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Ich habe doch oben alle Lösungen angegeben?

Es handelt sich um Parabelbögen und Strecken - klar, kann man die grafisch darstellen

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Ok danke, was hat es dann mit dem z.B. auf sich?

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In meinem späteren Kommentar habe ich weitere Lösungen mit einem Parameter a angegeben. Das z.B. bezieht sich darauf, dass ich dort a=0 gewählt hatte.

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ok, also für den Anfangswert s(0)=-1 existieren lediglich diese zwei Lösungen?