Woher weiß ich welcher Eigenwert doppelt vorkommt?

Question

Aufgabe:

Ich habe eine 3x3 Matrix: ((2,1,2)(1,2,2)(1,1,3)). Ich möchte die Eigenwerte berechnen.

Problem/Ansatz:

Als Ergebnis der Determinante erhalte ich -λ³+7λ²-11λ+5=0. Durch Polynomdivision erhalte ich -λ²+6λ-5=0. Mit der abc-Formel erhalte ich 2 Ergebnisse λ₁=1 und λ₂=5. Es muss ja insgesamt 3 λ als Lösung geben, da es sich um eine 3x3 Matrix handelt. In meinen Lösungen steht, dass λ=1 zweimal die Lösung ist und λ=5 einmal. Woher weiß ich (ohne in die Lösungen zu schauen), was die genauen Eigenwerte sind?

Answer 1

Mache eine Polynomdivision

(- λ³ + 7·λ² - 11·λ + 5)/(λ - 1) = 1

Entweder jetzt nochmals eine Polynomdivision oder Satz von Vieta oder abc-Formel.

- λ² + 6·λ - 5 = 0 --> λ = 5 ∨ λ = 1

1 ist daher ein zweifacher Eigenwert und 5 ein einfacher Eigenwert.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du das charakteristische Polynom korrekt berechnet hast, kannst du darin $\lambda=0$ einsetzen und erhältst die Determinante $5$ der Matrix. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte:$$\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=5$$

Die Diagonalelemente der Matrix haben die Summe $7$, das ist die Summe der Eigenwerte:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=7$$

Die Summe der Komponenten ist in jeder Zeile gleich $5$, also ist $\lambda_1=5$ ein Eigenwert.

Setzen wir das in die beiden Gleichungen ein, bleibt übrig:$$\lambda_2\cdot\lambda_3=1\quad;\quad \lambda_2+\lambda_3=2\quad\implies\quad \lambda_2=\lambda_3=1$$

Du kannst das charakteristische Polynom auch faktorisieren:$$p(\lambda)=-(\lambda-1)^2(\lambda-5)$$An dem Quadrat erkennst du, dass der Eigenwert $1$ doppelt vorkommt.