Zeigen Sie, dass (G, ·) eine Untergruppe der ({GL}_{2}(ℝ), ·) ist.

Question

Text erkannt:

2. Sei
\( G:=\left\{\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2,2}: a_{1,1} \cdot a_{2,2}=1\right\} \subset \mathbb{R}^{2,2} . \)

Zeigen Sie, dass \( (G, \cdot) \) eine Untergruppe der \( \left(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}), \cdot\right) \) ist.

Answer 1

Da ja \( G L_{2}(\mathbb{R}) \) eine Gruppe ist, müss man nur noch zeigen, dass für \( A, B \in G \) auch \( A B \) in \( G \) ist und \( A^{-1} \) in \( G \) liegt.

Seien \( A \) und \( B \) Matrizen aus \( G \):
\( A \cdot B=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} b_{1,1} & 0 \\ 0 & b_{2,2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} \cdot b_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \cdot b_{2,2} \end{array}\right) \)
\( a_{1,1} \cdot b_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot b_{2,2}=1 \) (da \( A \) und \( B \) in \( G \) sind), ist \( A \cdot B \) auch in \( G \).

\( A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{a_{1,1}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2,2}} \end{array}\right) \)
\( a_{1,1} \) und \( a_{2,2} \) sind beide ungleich null und (da \( A \) in \( G \) ist) \( A^{-1} \) ist auch in \( G \).

Answer 2

Definiere folgende Abbildung:

\(f:\mathbb{R}^*\to \text{GL}_2(\mathbb{R}),f(x)=\begin{pmatrix}x & 0\\ 0 & \frac{1}{x}\end{pmatrix}\), wobei \(\mathbb{R}^*\) die multiplikative Einheitengruppe \((\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)\) darstellt.

Dies ist ein Gruppenhomomorphismus, denn: \(f(xy)=\begin{pmatrix}xy & 0\\ 0 & \frac{1}{xy}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & 0\\ 0 & \frac{1}{x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y & 0\\ 0 & \frac{1}{y}\end{pmatrix} = f(x)f(y)\).

Da \(G\) klar das Bild von \(f\) ist und Bilder unter Gruppenhomomorphismen immer Untergruppen des Zielbereichs sind, ist die Aussage bewiesen.

Anmerkung: Da \(\ker(f)=\{\mathbb{1}\}\), ist \(f\) ein Isomorphismus auf seinem Bild und also \(G\cong \mathbb{R}^*\).