Ableitung nach der Quotientenregel, Verständnis zum Ergebnis ausrechnen fehlt.

Question

Aufgabe: ƒ_(x)  = \( \frac{x}{x²+1} \)   Soll nach der Quotientenregel abgeleitet werden.

… Ich komme bis ƒ´(x)  = \( \frac{1*(x²+1)-x*2x}{(x²+1)²} \)

Problem/Ansatz:

… Hallo Leute, wenn sich jemand mit der Quotientenregel auskennt? Etwas Zeit hat mir das bitte zu erklären. Ich komme nicht auf das Ergebnis ƒ´(x)  = \( \frac{1-x²}{(x²+1)²} \). Danke für die Mühe

mfg

Answer 1

Dein Nenner stimmt ja schon mit dem richtigen Ergebnis überein und wir müssen nur noch schauen, wie wir den Zähler geeignet zusammenfassen. Das geht so: $$1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x = x^2+1-2x^2 = 1+x^2-2x^2 = 1-x^2.$$Nun stimmen auch die Zähler überein und wir sind fertig.

Answer 2

\( \frac{1*(x²+1)-x*2x}{(x²+1)²} =  \frac{x²+1-2x^2 }{(x²+1)²}  \)

und x² - 2x² gibt ja -x² .

Answer 3

Multipliziere Die Klammer im Zähler aus und fasse zusammen.

Answer 4

u= x, u'= 1

v= x^2+1, v' = 2x

(x^2+1-x*2x)/(x^2+1)^2  = (-x^2+1)/(x^2+1)^2 = (1-x^2)/(x^2+1)^2

vgl:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 5

Hallo,

\(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\\f'(x)=\frac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}\\[12pt] f(x)=\frac{x}{x^2+1}\\ u=x\quad u'=1\\ v=x^2+1\quad v'=2x\\[12pt] f'(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-2x\cdot x}{(x^2+1)^2}\\ =\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}\\ =\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\\ =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)

Gruß, Silvia

Answer 6

Aloha :)

Du hast aber doch das Ergebnis raus. Du hast nur nicht zu Ende gerechnet:$$f'(x)=\frac{\red{1\cdot(x^2+1)}-\green{x\cdot2x}}{(x^2+1)^2}=\frac{\red{x^2+1}-\green{2x^2}}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$