f in 0 stetig, f auf ganz ℝ stetig

Question

Ich möchte zeigen, dass die folgende Funktion, die in 0 stetig ist, auf ganz ℝ stetig ist:

Sei f:ℝ→ℝ eine Funktion, die in 0 stetig ist mit f(0)≠0 und der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)·f(y) für alle x,y∈ℝ genügt.

(Ich weiß bereits, dass f(0)=1 und dass f keine Nullstellen hat.)

Hat jemand eine Idee? Ich bin mir unsicher, welche Stetigkeitsdefinition man überhaupt verwenden sollte.

Wenn ich ε/δ nehme, sieht das so aus:

Da f in 0 stetig ist, gilt

∀ε>0 ∃ δ>0 ∀x∈ℝ : Ιx-0Ι = ΙxΙ<δ ⇒ Ιf(x) - f(0)Ι = Ιf(x) - 1Ι .

Sei nun ε>0 und x0∈ℝ\{0} beliebig.

Wir wählen δ= ???

Wenn ich das andere mir bekannte Kriterium nehme, hab ich:

Da f in 0 stetig ist, gilt

lim x↦0 f(x) = f(0) = 1.

Und das Folgenkriterium besagt:

Für jede Folge (x_n)_n in ℝ gilt

lim n↦∞ x_n = 0 ⇒ lim n↦∞ f(x_n) = f(0) = 1.

Answer 1

Ich gebe zwei verschiedene Beweise. Einmal die Folgenstetigkeit, da sie elegant ist, und das $\varepsilon,\delta$-Geplänkel, weil man sich manchmal auch einfach die Hände schmutzig machen muss.

Zur Folgenstetigkeit: Stetigkeit auf ganz $\mathbb{R}$ bedeutet: Für beliebige $x\in\mathbb{R}$ und beliebige Nullfolgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ muss gelten: $\lim\limits_{n\to\infty} f(x+a_n)=f(x)$.

Wir rechnen explizit nach: $\lim\limits_{n\to\infty}f(x+a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x)\cdot f(a_n)=f(x)\cdot \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n) = f(x)\cdot 1 = f(x)$, der benutzte Grenzwert gilt wegen der gegebenen Stetigkeit in $0$.

Zum $\varepsilon,\delta$-Geplänkel: Du weißt bereits, dass du wegen der Stetigkeit in der $0$ für jedes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ bekommst, sodass $\left(|x|<\delta\implies |f(x)-1|<\varepsilon\right)$.

Wir nehmen uns jetzt irgendeinen Punkt $x_0\neq 0$ und irgendein $\varepsilon>0$. Von der Stetigkeit in $0$ möchten wir jetzt ein $\delta>0$, sodass $\left((|x|<\delta\implies |f(x)-1|<\frac{\varepsilon}{|f(x_0)|}\right)$ Warum dieses komisch gewählte epsilon, merkst du gleich.

Jetzt nehmen wir an, wir haben ein $x\in\mathbb{R}$ mit $|x-x_0|<\delta$. Wir wollen die Gleichung aus der Aufgabenstellung verwenden, die die Funktion erfüllt, und schreiben dafür $x=x_0+(x-x_0)$. Jetzt können wir ausrechnen:

$|f(x)-f(x_0)| = |f(x_0+(x-x_0))-f(x_0)| = |f(x_0)\cdot f(x-x_0)-f(x_0)\cdot 1| = |f(x_0)|\cdot|f(x-x_0)-1| < |f(x_0)|\cdot \frac{\varepsilon}{|f(x_0)|} = \varepsilon$.

Comments

Vielen Dank, Joners :D

Und sogar zwei Lösungswege, das ist superlieb!

Das "Geplänkel" werde ich gleich durcharbeiten.

Ich kann das mit der Folgenstetigkeit nachvollziehen, aber verstehe nicht, warum das gezeigte $\lim\limits_{n\to\infty} f(x+a_n)=f(x)$ ausreicht, um Stetigkeit auf ganz ℝ zu beweisen.

Laut Skriptdefinition würde Stetigkeit auf ganz ℝ für mich bedeuten:

f ist genau dann stetig in beliebigem Punkt x∈ℝ, wenn für jede Folge a_n in ℝ mit $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=x$ gilt

$\lim\limits_{n\to\infty} f(a_n)=f(x)$ .

Bei dir sind die a_n ja nur Nullfolgen...

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Ah, ich hab's begriffen. Durch das Addieren von x bekommt man eine beliebige Folge mit Grenzwert x :)

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Goldrichtig! Ich schreibe Folgen, die gegen ein $x$ konvergieren, sehr gerne als $x+\text{Nullfolge}$, dann kann man sich beim Abschätzen auf des Wesentliche konzentrieren, einfacher abschätzen, vielleicht Dinge rausziehen etc.

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dann kann man sich beim Abschätzen auf des Wesentliche konzentrieren

es sei denn, das Wesentliche geht verloren :
(Wohin) konvergiert n*(x_n-x), wenn (x_n) = x + Nullfolge ist ?

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Wo ist das Problem? Bzw. welches Problem siehst du hier, das nicht existiert, wenn du versuchst herauszufinden, was mit der Konvergenz von $na_n$ los ist, wenn $a_n$ eine stinknormale Nullfolge ist? Kann halt alles mögliche sein, tough luck.

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Kann halt alles mögliche sein

Eben darum kann es sein, dass die schlichte Ersetzung von (xn) durch x+Nullfolge nicht zielführend ist, wie ich mit meinem Kommentar oben deutlich gemacht habe.