Eindeutige Lösung eines Randwertproblems

Question

Ich hatte folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob das folgende Randwertproblem eindeutig lösbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Lösung:
$\begin{aligned} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, & 0 \leq x & \leq 1, \\ y(0)+y^{\prime}(0)=4, & y^{\prime}(1) & =0 . \end{aligned}$

Meine Lösung sieht wie folgt aus, kommt mir aber etwas kurz und einfach vor.

- Homogene DGL
$\begin{aligned} & y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 \\ & r^{2}-2 r+1=0 \Leftrightarrow r_{1}=r_{2}=1 \\ \Rightarrow & y_{h}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x} \end{aligned}$

- Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
$y_{p}(x)=a x+b$

Ableitungen: $y_{p}^{\prime}(x)=a \quad y_{p}^{\prime \prime}(x)=0$

Einsetzen In inhomogene DGL: $0-2 a+a x+b=x$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow a=-1 & , b=4 \\ & \Rightarrow y_{p}(x)=-x+4 \end{aligned}$

- Allgemeine Lösung:
$y(x)=y_{p}(x)+y_{n}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}-x+4$

- Anwenden der Randbed.:
i) $y(0)+y^{\prime}(0)=c_{1}+4=4 \Leftrightarrow c_{1}=0$
ii) $y^{\prime}(1)=c_{2} e+c_{2}-1=0 \Leftrightarrow c_{2}=1 / e$

- Lösung:
$y(x)=\frac{1}{e} x e^{x}-x+4$

Bis wir die Aufgabe besprechen ist es aber noch eine Woche aber ich würde die Aufgabe gerne schonmal geprüft haben.

Answer 1

Ich komme beim Einsetzen auf a=1, b=2.

Wenn Du ein Ergebnis hast, mach stets die Probe. Dann siehst Du selbst, ob es passt.

Comments

Hab jetzt erst gesehen dass beim umwandeln ein paar Fehler reingekommen sind.

Aber 1 und 2 stimmt - ups