Ich hatte folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob das folgende Randwertproblem eindeutig lösbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Lösung:
\( \begin{aligned} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, & 0 \leq x & \leq 1, \\ y(0)+y^{\prime}(0)=4, & y^{\prime}(1) & =0 . \end{aligned} \)
Meine Lösung sieht wie folgt aus, kommt mir aber etwas kurz und einfach vor.
- Homogene DGL
\( \begin{aligned} & y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 \\ & r^{2}-2 r+1=0 \Leftrightarrow r_{1}=r_{2}=1 \\ \Rightarrow & y_{h}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x} \end{aligned} \)
- Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
\( y_{p}(x)=a x+b \)
Ableitungen: \( y_{p}^{\prime}(x)=a \quad y_{p}^{\prime \prime}(x)=0 \)
Einsetzen In inhomogene DGL: \( 0-2 a+a x+b=x \)
\( \begin{aligned} \Leftrightarrow a=-1 & , b=4 \\ & \Rightarrow y_{p}(x)=-x+4 \end{aligned} \)
- Allgemeine Lösung:
\( y(x)=y_{p}(x)+y_{n}(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}-x+4 \)
- Anwenden der Randbed.:
i) \( y(0)+y^{\prime}(0)=c_{1}+4=4 \Leftrightarrow c_{1}=0 \)
ii) \( y^{\prime}(1)=c_{2} e+c_{2}-1=0 \Leftrightarrow c_{2}=1 / e \)
- Lösung:
\( y(x)=\frac{1}{e} x e^{x}-x+4 \)
Bis wir die Aufgabe besprechen ist es aber noch eine Woche aber ich würde die Aufgabe gerne schonmal geprüft haben.
