Identität von sin(pi/3) ohne Geometrie beweisen

Question

Aufgabe:

Ich soll nachweisen, dass \( sin( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2} \sqrt{3} \). Allerdings hatten wir in der Vorlesung weder bewiesen noch angesprochen, dass sin(x)=Gegenkath./ Hypothen. entspricht.

Problem/Ansatz:

Mir kommt es am naheliegendsten vor die Definition des sin(x) zu verwenden, wobei sich folgendes Problem stellt.

$$ sin( \frac{ \pi}{3}) = \frac{1}{2i} \cdot ( exp^{i \frac{ \pi}{3}} - exp^{-i \frac{ \pi}{3}} ) =  \frac{1}{2i} \cdot \left( (-1)^{ \frac{1}{3}} - (-1)^{ \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{2i} \cdot (-1 + 1) = 0 $$

Offensichtlich mache ich hier etwas gehörig falsch, aber wo ?

Comments

Ist die Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Pythagoras zuviel Geometrie ?

Answer 1

Die Wurzeln (hier die dritte Wurzel) ist in \(\mathbb{C}\) nicht definiert. In \(\R\) geht das mit der dritten Wurzel, da ist sie eindeutig. Aber nicht hier. Die Gleichung \(z^3=-1\) hat in \(\mathbb{C}\) drei versch. Lösungen, daher kann man mit Wurzeln so nicht rechnen.