Erste Ableitung der Funktion mit Differentialquotienten.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)= \)

Ermittle die 1. Ableitung der gegebenen Funktion mithilfe des Differentialquotienten.
a) \( f(x)=-x^{3} \)

Problem/Ansatz:
Hey Leute, ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Ableitung. Könnt ihr mir bei diesem Beispiel helfen? Die reguläre Ableitung hat ja bestimmte Regeln, aber ich finde die Sache mit den Differentialquotienten verwirrend. Was bedeutet das Delta (Δ) in der Formel und wie setze ich es ein, geht die Funktion immer gegen Null?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe an Stelle von \(\Delta x\) ein kleines \(h\). Der Differentialquotient muss so umgeformt werden, dass du das \(h\) im Nenner rauskürzen kannst. Die Ableitung von \(f(x)=-x^3\) kannst du dann mit Hilfe der binomischen Formel$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$wie folgt bestimmen:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-(x+h)^3-(-x^3)}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+x^3}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-3x^2h-3xh^2-h^3}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\cdot(-3x^2-3xh-h^2)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(-3x^2-3xh-h^2\right)$$$$\phantom{f'(x)}=-3x^2-0-0=-3x^2$$

Answer 2

Berechne: Verwende h statt Δx

( -(x+h)^3 +x^3)/h

Lass h am Ende gegen 0 gehen. Vorher kann man mit h kürzen.

Die Formel für (a+b)^3 findest du hier:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomische-formeln-hoch-3-4-5.html

Ergebnis: -3x^2

Vorsicht mit dem Minus-Zeichen beim Klammerauflösen.