Grenzwert Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = x^2 an der Stelle x1=2.

Question

Hey

Ich wollte Frage ob man das so formuliert:
Der Limes von x1 für x1 gegen 2 ist 4

Zu dieser Rechnung habe ich eine Frage...

Ich vermute mal in diesem Bsp. ist x1=2

Aber das Zeichen x1--->2 bedeutet doch nicht x1="?

Kann man das so aussprechen ?

Für den Grenzwert gilt folglich

m=limx1→2x1+2=4

EDIT(Lu) : Überschrift der Fragestellung angepasst, die in den Kommentaren folgt.



fdf

Comments

Meinst du sowas wie$$m=\lim_{x_1\to2}\frac{{x_1}^2-2^2}{x_1-2}=\lim_{x_1\to2}(x_1+2)=2+2=4\,?$$

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Du kannst die Grenzwertsätze anwenden:$$m=\lim_{x_1\to2}(x_1+2)=\lim_{x_1\to2}x_1+\lim_{x_1\to2}2=2+2=4.$$

Answer 1

Du könntest wenigstens mal die Funktion zur Verfügung stellen.

Comments

\( m=\lim \limits_{x_{1} \rightarrow 2} x_{1}+2=4 \)

Der Limes von x1 für x1 gegen 2 ist 4

Zu dieser Rechnung habe ich eine Frage...

Ich vermute mal in diesem Bsp. ist x1=2 (2+2=4)

Aber das Zeichen x1--->2 bedeutet doch nicht x1=2

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Schreib die Funktion doch einfach auf und poste keine Bilder.

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Das ist zu aufwendig mit langen Formeln.... Habe auch kein schönes Programm gefunden mit dem ich gut arbeiten könnte...

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Nur die Funktion f(x) = ...

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Asooo f(x)=x²

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f(x) = x^2

f'(x) = lim (h --> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

ersetze f(x + h) = (x + h)^2 und f(x) = x^2

f'(x) = lim (h --> 0) ((x + h)^2 - x^2) / h

wende die binomische formel an

f'(x) = lim (h --> 0) (x^2 + 2·h·x + h^2 - x^2) / h

fasse den zähler zusammen

f'(x) = lim (h --> 0) (2·h·x + h^2) / h

kürze h

f'(x) = lim (h --> 0) (2·x + h) / 1

f'(x) = lim (h --> 0) 2·x + h

für h --> 0

f'(x) = 2·x

Für x1 gegen 2 also

f'(2) = 2·2 = 4

Ich habe es bewusst mit der allgemeinen Herleitung gemacht und erst ganz am Ende eingesetzt.

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Joo das Prinzip habe ich verstanden. Danke nochmal für diesen Weg.

Jedoch habe ich eigentlich eine andere ähnliche Frage.

a) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe des Differentialquotienten

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2.
Gesucht ist die Steigung der Tangente an der Stelle x0=2.

Am Ende kommt das hier raus:

\( m=\lim \limits_{x_{1} \rightarrow 2} x_{1}+2=4 \)

Meine Frage ist:

1.)

Man sagt ja x1 gegen 2 und setzt man dann für x1 die Zahl 2 ein und somit kommt 4 raus (2+2)...

Bei deiner Lösung ist dasselbe Prinzip ja, aber was ich mich Frage wieso steht da

x1-->2......da könnte doch auch stehen x1=2...

2.)

Wie spricht man die Lösung eig aus.

So:

Die Steigung von x² für x1 gegen 2 ist 4?

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sowohl bei

m = (x^2 - 2^2) / (x - 2)

als auch bei

m = ((2 + h)^2 - 2^2) / h

darf der Nenner nicht 0 werden. D.h. man darf eigentlich nicht x = 2 bzw. h = 0 einsetzen. Daher nimmt man den Grenzwert. Man setzt also etwas ein das sehr sehr nahe an den Werten dran liegt. Das besagt man bildet den Grenzwert.

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Wie ich es verstanden habe setzt man im Grunde für x=2 ein Bsp, aber mathematisch bzw. im Grunde bildet man nur ein Grenzwert.

Bsp.

h--->0

h nähert sich an 0  , aber erreicht ihn nie

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Im Differenzialquotient steht im Nenner eben für den Grenzwert 0. Dadurch darfst du nicht teilen. Daher haben wir hier den Grenzübergang schon gebildet. Anschließend darfst du in dir normale Ableitung 2 einsetzen.