Was ist das exakte Verhältnis der Radien?

Question

In einem Quadrat sind zwei Paare gleichgroßer Kreise so angeordnet, wie die Abbildung zeigt:

Was ist das exakte Verhältnis der Radien?

Answer 1

R+r(1+√2)    =    R√2    + R

r(1+√2)    =    R√2  

r:R = \( \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \)

Comments

Jetzt noch den Nenner rational machen...

\(2-\sqrt2\)

;-)

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eine alternative Lösung:

man klappe den unteren linken Kreis nach oben (rot gestrichelt). Die beiden Dreiecke \(\triangle ACD\) und \(\triangle EFD\) sind inklusive ihrer Inkreise ähnlich. Folglich ist das Verhältnis der beiden Radien \(R=|PQ|\) zu \(r=|MP|\) genauso groß wie das Verhältnis der Höhen \(|QD|\div |PD|\) über den Hypotenusen$$\frac{R}{r} = \frac{|QD|}{|PD|}$$Man setze \(|PD| = 1\,\text{LE}\), dann ist $$\frac{R}{r} = \frac{1+(|PQ|=|PG|)}{1}=1 + \frac{1}{2}\sqrt{2}$$

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Sehr schön, Werner.

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abakus' Lösung gefällt mir besser, da die betrachteten Strecken direkt ablesbar sind.