Finden Sie invariante Unterräume für folgende geometrisch beschriebene Abbildungen:

Question

Aufgabe:

Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum und $f: V \rightarrow V$ linear. Beweisen Sie, dass Summen und Schnitte invarianter Unterräume invariante Unterräume sind.

Finden Sie außerdem invariante Unterräume für folgende geometrisch beschriebene Abbildungen:

a) $R_{\varphi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel $\varphi$;

b) $R_{\varphi, u}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$, die Drehung um den Winkel $\varphi$ bezüglich der Achse $\ell_{u}=\langle u\rangle$ gegeben durch den Vektor $u \neq 0$.

Problem/Ansatz:Guten Abend alle zusammen, ich wollte bezüglich diese Aufgabe um Hilfe bitten, da mir vollständig der Ansatz für a und b fehlt. Ich kann zeigen, dass der Schnitt und die Summe invarianter Unterräume invariante Unterräume sind, doch für a und b fehlen mir die Ideen.

Answer 1

zu a) Unterräume von ℝ² gibt es ja nur:

         i) den Nullraum. Der ist invariant bei jeder Drehung um (0;0);

                          denn (0;0) wird ja immer auf (0;0) abgebildet.

        ii)  ganz ℝ² . Der ist auch invariant bei jeder Drehung um (0;0);

                       denn jedes El. von ℝ² wird wieder auf eines von ℝ² abgebildet.

        iii) Die eindimensionalen. Die bestehen immer aus den Vielfachen

            eines von 0 verschiedenen Vektors v. Invariant sind die also,

wenn jedes Vielfache von v wieder auf ein Vielfaches von v abgebildet

wird, das passiert immer wenn $\varphi$ ein Vielfaches von $\pi$ ist.