Matrix X angeben, Lsg. wahrscheinlich durch Umformen

Question

Ich soll hier eine Matrix X angeben, allerdings stehe ich leider auf dem Schlauch. Ich habe bereits eine Formel oben geschrieben, allerdings müsste ich dafür die die Inverse Matrix berechnen - bei ca. 8 Minuten Zeit für diese komplette Aufgabe kommt das nicht in Frage.

$A \cdot x=b \quad \Leftrightarrow x=A^{-1} \cdot b$

Geben Sie jeweils eine Matrix $X$ an, so dass gilt
а) $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$,
b) $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 6\end{array}\right)$,
c) $X \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right)$.
(Tipp: Schauen Sie sich die Matrizen genau an!)

Answer 1

Aloha :)

zu a) Du hast das Prinzip der Matrix-Multiplikation noch nicht wirklich verstanden. Wir betrachten zuerst die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Als Beispiel nehmen wir die linke Matrix aus Teil (a)$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$$Die Spaltenvektoren der linken Matrix werden durch die Multiplikation mit dem rechten Vektor zu einem neuen Vektor kombiniert. Die $n$-te Koordinate des Vektors gibt an, wie stark die $n$-te Spalte der Matrix in den Ergebnisvektor eingeht.

Nun zerlegst du im Kopf die Matrizenmultiplikation aus der Aufgabenstellung in 3 Multiplikationen mit jeweils einem Vektor. Die erste Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Wenn wir einfach keinen einzigen Spaltenvektor für die Linearkombination auswählen, erhalten wir als Ergebnis den Nullvektor, denn es gilt ja:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\red0\\\red 0\\\red 0\end{pmatrix}=\red0\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+\red0\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\red0\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Die zweite Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$$Man sieht sofort, dass wir den ersten Spaltenvektor der Matrix mit $2$ multiplizieren können, um den gewünschten Ergebnisvektor zu erhalten. Die beiden anderen Spaltenvektoren brauchen wir nicht.$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{blue}2}\\{\color{blue}0}\\{\color{blue}0}\end{pmatrix}={\color{blue}2}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+{\color{blue}0}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+{\color{blue}0}\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}$$

Die dritte Multiplikation lautet:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}$$Hier sieht man auch sehr schnell, dass wir den dritten Spaltenvektor der Matrix mit $(-1)$ multiplizieren müssen, um den gewünschten Ergebnisvektor zu erhalten. Die beiden anderen Basisvektoren brauchen wir wieder nicht:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{brown}0}\\{\color{brown}0}\\{\color{brown}-1}\end{pmatrix}={\color{brown}0}\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+{\color{brown}0}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+{\color{brown}(-1)}\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}$$

Das alles machst du natürlich im Kopf und fasst nur das Ergebnis zusammen:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red0 & {\color{blue}2} & {\color{brown}0}\\\red 0 & {\color{blue}0} & {\color{brown}0}\\\red 0 & {\color{blue}0} & {\color{brown}-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\0 & 6 & -2\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

zu b) Jetzt solltest du das Prinzip verstanden haben. Bei Teil (b) haben wir 3 Spaltenvektoren in der linken Matrix zur Auswahl. Daher brauchen wir bei der Vektor-Multiplikation einen 3-dimensionalen Vektor, denn wir müssen ja angeben, wie stark jeder der 3 Spaltenvektoren zum Ergebnisvektor beitragen soll.$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$

Die erste Spalte der Fragenzeichen-Matrix sollte sofort klar sein, denn wir brauchen den zweiten Spaltenvektor der linken Matrix genau 1-mal, um den Zielvektor $\binom{2}{1}$ zu erhalten. Die beiden anderen Spaltenvektoren brauchen wir nicht:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & ?\\1 & ?\\0 & ?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$

Die zweite Spalte der Fragenzeichen-Matrix ist auch sofort hingeschrieben. Offensichtlich brauchen wir den ersten Spaltenvektor der linken Matrix doppelt, um den Zielvektor $\binom{2}{6}$ zu erhalten:$$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 2\\1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 6\end{pmatrix}$$

zu c) Die linke Matrix $X$ muss zwei Spaltenvektoren haben, denn wir multiplizieren sie mit 2-dimensionalen Vektoren. Die Spaltenvektoren der linken Matrix $X$ müssen 3 Komponenten haben, denn die Zielvektoren rechts vom Gleichheitszeichen haben alle 3 Komponenten:$$\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$

Wir zerlegen die Matrix-Multipikation wieder in ihre einzelnen Vektor-Multiplikationen:$$\begin{pmatrix}? & ?\\? & ?\\? & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$Mit dem Vektor $\binom{1}{0}$ wählen wir 1-mal den ersten Spaltenvektor der linken Fragezeichen-Matrix aus. Das Ergebnis dieser Auswahl soll der Vektor $(1;0;2)^T$ sein. Also muss dieser Vektor in der ersten Spalte der Fragenzeichen-Matrix stehen:$$\begin{pmatrix}1 & ?\\0 & ?\\2 & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$

Nun schauen wir uns die zweite Vektor-Multiplikation an:$$\small\begin{pmatrix}1 & ?\\0 & ?\\2 & ?\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\implies2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}?\\?\\?\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$$Damit ist der zweite Spaltenvektor der Fragenzeichen-Matrix ebenfalls klar:$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 3\\2 & -3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Multiplikation von Rechts sind Spaltenoperationen:

Wie musst Du die Spalten kombinieren um die Zielmatrix zu erhalten:

1. Spalte*(0), 2.Spalte+1.Spalte*(2), 3.Spalte(-1)

A {{0, 2, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, -1}}

usw....

https://www.geogebra.org/cas?command=A:={{1,2,-1},{3,1,2},{0,1,1}};A…

Comments

Jetzt verstehe ich noch weniger als zuvor...

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Jetzt nochmal gelesen und es besser nachvollzogen: also durch Probieren werde ich diese Aufgabe nicht lösen können. Manch einer könnte das vielleicht mit scharfem Hinsehen, ich allerdings nicht.

Ich habe halt max. 10 Minuten Zeit für diese Aufgabe. Oben habe ich bereits eine Formel geschrieben, es wird doch sicherlich einen Weg durch umformen geben und nicht durch probieren oder stur die Inverse durch das Gauß-Jordan-Verfahren zu berechnen...

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Das ist Übungssache, richtig...

Vermutlich zielt die Aufgabe auf Elementar-Matrizen ab, eine

Zusammenstellung

https://www.geogebra.org/m/dc27zpw5

Answer 3

Man kann a), b) tatsächlich ohne viel Aufwand lösen.

Entscheidend hier ist zu wissen, dass wenn man eine Matrix spaltenweise aufschreibt

$A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}$

und man multipliziert diese mit dem $i$-ten Einheitsvektor $e_i$, dann erhält man die Spalte $a_i$:

$Ae_i = a_i \quad (\star)$

Ich bezeichne im Weiteren die rechte Matrix jeweils mit B und die Spalten von X und B jeweils mit $b_1, b_2,\ldots$ etc. bzw. $x_1, x_2,\ldots$ etc.

Ab jetzt gilt der Tipp:

Schauen Sie sich die Matrizen genau an!

a)

$b_2 = 2a_1 \stackrel{(\star)}{\Rightarrow} x_2 = 2e_1$

$b_3 = -a_3 \stackrel{(\star)}{\Rightarrow} x_3 = -e_3$

Man sieht schnell, dass A invertierbar ist, also $x_1 = o$ (Nullvektor). Ergebnis:
$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Nachgerechnet - Stimmt.

b)

$b_1 = a_2 \stackrel{(\star)}{\Rightarrow} x_1 = e_2$

$b_2 = 2a_1 \stackrel{(\star)}{\Rightarrow} x_2 = 2e_1$

Ergebnis:

$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

Nachgerechnet - Stimmt.

c)

$Xe_1 = b_1 \stackrel{(\star)}{\Rightarrow} x_1 = b_1$

Jetzt muss ich etwas spaltenweise rechnen:
$2x_1 + x_2 = b_2 \Rightarrow x_2 = b_2 - 2b_1$

Ergebnis:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ 2 & -3\end{pmatrix}$

Nachgerechnet - Stimmt.