Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen.

Question

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac{2}{3} x^{3}-\frac{8}{3} x$.

a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von für $-2,5 \leq x \leq 2,5$.
b) Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen.
c) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente? Wie groß ist ihr Steigungswinkel?

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

Was ist Deine Frage dazu?

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Skizze zu c)

Answer 1

f(x) ist punktsymmetrisch. Daher befinden sich die Nullstellen auch symmetrisch bezüglich der y-Achse.

f'(x) ist achsensymmetrisch und dabei ist die Steigung in den Symmetrischen Nullstellen auch gleich.

Answer 2

Die äußeren beiden Nullstellen sind -2 und 2.

Tangentensteigung dort ist f ' (-2) bzw. f ' (2).

Mit f ' (x) = 2x² - 8/3 ergibt sich in beiden Fällen m=16/3.

Also sind die Tangenten dort parallel.

Answer 3

f(x) = 0

2/3*x(x²-4) = 0

x1= 0

x²-4= 0

x= +-2

Tangenten:

t1(x) = (x-2)*f '(2) + f(2)

f '(x) = 2x²-8/3

f '(2)= 8- 8/3 = 24/3 -8/3 = 16/3

f(2)= 0

t(x) = (x-2)*16/3 +0 = 16/3*x- 32/3

t2(x) = (x+2)*f '(-2) + f(-2)  = (x+2)*(16/3)+0 = 16/3*x +32/3

m(T1) = m(T2) = 16/3

Gleich Steigung bedeutet, dass die Tangenten parallel sind.