Zeigen Sie: Die Gerade durch die Punkte P Q ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt Q

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/6x³–2x²+28/3. der Punkt Q liegt auf dem Grafen von f. Zeigen Sie: Die Gerade durch die Punkte P & Q ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt Q

P(4/3,28/3) und Q(4/-12)

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der der Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Danke

Answer 1

Hallo,

du kannst die Gleichung der Tangente aufstellen und dann durch Punktprüfung herausfinden, ob P darauf liegt. Verwende für die Tangentengleichung z.B. die Punktsteigunsform $t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.

$f(x)=\frac{1}{6}x^3-2x^2+\frac{28}{3}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^2-4x\\ f'(4)=-8\\ t(x)=-8\cdot(x-4)-12\\ t(x)=-8x+20\\ t\bigg(\frac{4}{3}\bigg)=\frac{28}{3}$

Also liegt P auf der Tangente.

Gruß, Silvia

Answer 2

t(x) = (x-4)*f '(4) -12

f '(4) = -8

t(x) = (x-4)*(-8) -12 = -8x +20

Gerade PQ:

f(x) = mx+b

m= (-12- 28/3)/(4-4/3) = (-64/3)/(8/3) = -8

einsetzen:

-12 = -8*4+b

b= 20

f(x) = -8x+20 q.e.d.

Answer 3

Man kann es auch etwas anders zeigen:

P(4/3 | 28/3) und Q(4 | -12)

Gerade durch P und Q

m = (28/3 - (-12)) / (4/3 - 4) = -8
g(x) = -8(x - 4) - 12 = 20 - 8·x

Jetzt musst du nur 2 Dinge zeigen

g(4) = f(4) = -12 → stimmt

g'(4) = f'(4) = -8 → stimmt

Damit ist die Gerade g eine Tangente im Punkt Q.

Answer 4

Lassen wir mal alles Überflüssige der bisherigen Antworten weg.

Es ist weder nötig, die Gleichung von PQ zu ermitteln, noch braucht man die vollständige Tangentengleichung.

Da die Gerade PQ durch Q geht und die Tangente im Punkt Q natürlich auch Q enthält, ist der Test, ob f(4)=g(4) gilt, absolut überflüssig, weil dieser Fakt vorgegeben ist.

Was genügt: PQ hat den Anstieg $\frac{-12- \frac{28}{3}}{4- \frac{4}{3}} =-8$, und die Tangenten hat den gleichen Anstieg mit f'(4)=-8.