Bestimme die ganzrationale Funktion kleinsten Grades

Question

Aufgabe:

Bestimme die ganzrationale Funktion kleinsten Grades, deren Graph punktsymmetrisch
zum Koordinatenursprung verläuft und den Terrassenpunkt S(1 | 1)besitzt.

Problem/Ansatz:

Guten Morgen zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit Steckbriefaufgaben und versuche bestimmte Regeln zu finden, habe aber gerade ein paar Probleme damit. Laut Lösung soll hier eine Funktion 5. Grades herauskommen.

Ich möchte keinen Rechenweg oder Lösungsweg haben, da ich weiß wie man die Sachen rein handwerklich berechnet. Aber mein erster Gedanke wäre hier eine Funktion dritten Grades gewesen. Wieso ist es eine Funktion 5. Grades?

Wie kann ich erkennen an solch spärlichen Informationen welchen Grad ich ansetzen muss? Gibt es hierfür Regeln? Wenn ja wo finde ich die?

Danke für etwaige Antworten.

Comments

Bestimme die ganzrationale Funktion kleinsten Grades, deren Graph punktsymmetrisch
zum Koordinatenursprung verläuft und den Terrassenpunkt S\((1 | 1)\) besitzt.

Nur mal so als eventuelle Möglichkeit:

Ich splitte mal:

 \(x≥0\)

S\((1 | 1)\) →S´\((1 | 0)\) Dreifachnullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^3\)

U\((0|0)\)→U´\((0|-1)\)

\(f(0)=a(0-1)^3=-1\)

\(a=1\)

\(f(x)=(x-1)^3\)

Und um 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=(x-1)^3+1\)

Da nun im Ursprung Punktsymmetrie vorliegt:

\(f(x)=-(-x-1)^3-1\)    für \(x<0\)

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Tja, nur ist das nun keine ganzrationale Funktion.

Answer 1

Es kann nur eine Funktion ungeraden Grades punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Zudem ist eine Funktion 3. Grades immer punktsymmetrisch zum einzigen Wendepunkt. Nun ist ein Terrassenpunkt ein solcher Wendepunkt. Da dieser nicht im Ursprung liegt, kann eine Funktion 3. Grades die Punktsymmetrie im Ursprung nicht mehr erfüllen, da dort auch ein Wendepunkt sein muss. Der Grad muss dann mindestens 5 sein.

Genaue Regeln gibt es nicht. Man muss hier einfach mit den Eigenschaften der Funktionen arbeiten und sich überlegen, ob es funktionieren kann. Wenn nicht, muss man den grad erhöhen.

Alternativ: aufgrund der Punktsymmetrie muss auch bei \( T(-1|-1) \) ein Terrassenpunkt sein. Eine Funktion 3. Grades kann aber keine zwei Terrassenpunkte haben.

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Danke für die Info: Dämlich anmutende Anschlussfrage: Wieso kann eine Funktion 3. Grades keine zwei Terassenpunkte haben?

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Bei Wendepunkten ist die zweite Ableitung 0.

Die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine lineare Funktion. Lineare Funktionen können nicht zwei Nullstellen haben.

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Achso, jetzt, danke!

Answer 2

Ein Terrassenpunkt ist ein spezieller Wendepunkt.

Aufgrund der Punktsymmetrie ist (-1|-1) ein weiterer Terrassenpunkt.

Auch (0|0) muss ein Wendepunkt sein.

Eine ganzrat. Funktion mit 3 Wendepunkten hat mindestens den Grad 5.

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Danke für die Info,