Hallo,
… ich versteh die Aufgabe leider garnicht.
Die Aufgabe besteht darin, die Schnittstelle von \(f\) und \(g\) zu berechnen (a), Die Fläche \(A_1\) zu berechnen, die von der Y-Achse und den beiden Funktionen begrenzt wird (b) und die Fläche \(A_2\) die im 4.Qudranten von \(f\) und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
a) Berechnen Sie die Schnittstelle von f und g.
Die Schnittstelle(n) von Funktionen berechnet man immer durch Gleichsetzen der Funktion und Auflösen nach \(x\). An dieser Stelle haben beide Funktionen den identischen Funktionswert und deshalb einen gemeinsamen Punkt.$$\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ e^{\frac{x}{3}}-2 &=e^{\frac{8-x}{5}}-2 &&|\, + 2 \\ e^{\frac{x}{3}} &= e^{\frac{8-x}{5}} &&|\, 1^{*})\\\frac{x}{3} &= \frac{8-x}{5} &&|\,\cdot 15\\5x &= 24 - 3x &&|\, +3x\\ 8x &= 24 &&|\,\div 8\\ x&= 3\end{aligned}$$zu 1*) die beiden Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn die Exponenten gleich sind.
Die beiden Funktionen schneiden sich bei \(x=3\)
b) Berechnen Sie den Inhalt von \(A_1\).
oben die grüne Fläche, die von \(f\) (rot) und \(g\) (blau) eingeschlossen wird, ist \(A_1\). Um sie zu berechnen, integriert man die Differenz \(g-f\) von \(0\) bis \(3\) - also:$$\begin{aligned} A_1 &= \int\limits_{0}^{3} g(x)-f(x)\,\text{d}x \\ &= \int\limits_{0}^{3} e^{\frac{8-x}{5}} - e^{\frac{x}{3}} \,\text{d}x\\ &= \left[ -5e^{\frac{8-x}{5}} - 3e^{\frac{x}{3}}\right]_{0}^{3} \\ &= -5e - 3e + 5e^{\frac{8}{5}} + 3 \\ &= -8e + 5e^{\frac{8}{5}} + 3 \approx 6,019\end{aligned}$$Ich gehe davon aus, dass Du zum Integrieren der Funktionen noch Fragen hast. Frage bitte möglichst konkret.
3) Wie groß ist der Inhalt der Fläche \(A_2\), im 4. Qua-dranten, welche von den Koordinatenachsen und dem Graphen von f begrenzt werden?
Das zu berechnende Flächenstück \(A_2\) habe ich oben wieder grün markiert. Dazu musst Du zuerst den Schnittpunkt von \(f\) mit der X-Achse berechnen. Wir suchen also das \(x\), für das gilt $$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\ e^{\frac{x}{3}} - 2 &= 0 &&|\, +2\\ e^{\frac{x}{3}} &= 2 &&|\, \ln \\ \frac{x}{3} &= \ln(2) &&|\,\cdot 3 \\ x &= 3\ln(2)\end{aligned}$$Jetzt noch von \(0\) bis \(3\ln(2)\) integrieren. Und da \(A_2\) unterhalb der X-Achse liegt wird das Ergebnis negativ sein, daher nehme ich nur den Betrag$$\begin{aligned} A_2 &= \left|\int\limits_{0}^{3\ln(2)} f(x) \,\text{d}x\right| \\ &= \left|\int\limits_{0}^{3\ln(2)} e^{\frac{x}{3}}-2 \,\text{d}x\right| \\&= \left|\left[3 e^{\frac{x}{3}} - 2x\right]_{0}^{3\ln(2)}\right| \\ &= \left|6-6\ln(2) - 3\right| \\ &= \left|3-6\ln(2)\right| \\ &= 6\ln(2) - 3 \approx 1,159\end{aligned}$$... und bei Fragen immer fragen ;-)
Gruß Werner
