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Hallo, ich habe Schwierigekiten bei folgender Aufgabe:

Die Folge (an)n Sei rekursiv definiert durch einen Startwert a0 ∈ [1,3] und die Vorschrift

an+1=2an23an+3an+1 a_{n+1} = \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3}{a_n + 1}

a) Zeigen Sie: Es gilt an ∈ [1,3] für alle n∈Ν

b) Überprüfen sie die Folge auf Monotonie

c) Begründen sie das die Folge konvergiert

Problem/Ansatz:

Die a) konnten wir ohne Probleme per induktivem Beweis lösen, bei b) und c) kamen wir jedoch immer auf nichts sagende Lösungen.

Die Lösung für b) lautet: an+1 - an = \( \frac{2an2 - 3an + 3}{an + 1} \)  -an -> Einige umformungen und quadratisches Ergänzen ergeben: \( \frac{(an-2)2 - 1}{an + 1} \) < 0 mit an -2 ∈ [-1,1]

Bei c) soll laut lösung das Monotonie Kriterium verwendet werden

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an+1an=2an23an+3an+1an a_{n+1} - a_n = \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3}{a_n + 1} -a_n

=2an23an+3an(an+1)an+1 = \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3 -a_n(a_n + 1) }{a_n + 1}

=2an23an+3an2anan+1 = \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3 -a_n^2 -a_n }{a_n + 1}

=an22an+3an+1 = \frac{a_n^2 - 2a_n + 3 }{a_n + 1}

=an22an+1+2an+1 = \frac{a_n^2 - 2a_n + 1 + 2 }{a_n + 1} FEHLER! s. Kommentare

=(an1)2+2an+1 = \frac{(a_n -1)^2 + 2 }{a_n + 1}

Der Zähler ist immer größer oder gleich 0

und der Nenner positiv wegen an ∈ [1,3].

Also an+1an a_{n+1} - a_n immer größer gleich 0 ==> Folge mon. fallend.

                                                                          FEHLER! s. Kommentare

monoton und beschränkt ==> konvergent.

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Der Zähler ist immer größer oder gleich 0

Das "gleich" ist nicht notwendig, da der Zähler mindestens 2 ist.

Also an+1ana_{n+1}-a_n immer größer gleich 0 ==> Folge mon. fallend.

Hieße das nicht, dass die Folge monoton steigend ist?

Nach meinen Berechnungen ist2an23an+3an2anan+1=an24an+3an+1=(an3)(an1)an+1<0.\frac{2a_n^2-3a_n+3-a_n^2-a_n }{a_n+1}=\frac{a_n^2-4a_n+3}{a_n+1}=\frac{(a_n-3){\cdot}(a_n-1)}{a_n+1}<0.Warum schreibst du Brüche eigentlich immer so klein?

Oha, da habe ich mich mal wieder vertan.

Danke, ich merke das oben an.

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