Maximale Anzahl Brötchen

Question

Aufgabe:

Bei einer neu eröffneten Bäckerei kann die Anzahl der pro Woche verkauften Brötchen durch die Funktion f(x) = 2.000xe^-0,5x + 2.500 modelliert werden. x ist die Anzahl der Wochen seit Eröffnung.

a) Berechnen Sie, in welcher Woche die meisten Brötchen verkauft werden.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier die Produktregel anwenden kann auf Grund der 2500.

Es gab hier (auf der Website) schon mal die gleiche Aufgabe, aber wie gesagt ich versteh nicht was mit der 2500 passiert.

Gehört 2500 einfach zu v? Z.B. u= 2.000x v = e^-0,5x+ + 2.500

Hier die eben genannte Frage:

https://www.mathelounge.de/533931/extremwertaufgabe-f-x-2000-x-e-0-5…

Answer 1

Hier wendest du die Produktregel nur auf xe^-0.5x an. eine Konstante abgeleitet ergibt 0

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Die Ableitung gibt Auskunft darüber, wie stark eine Funktion ansteigt oder abfällt. Die Konstante $2500$ fällt weder an, noch sinkt sie ab. Daher ist Ihre Ableitung gleich Null. Der für alle $x$ konstante Beitrag $2500$ fällt beim Ableiten also einfach weg. Du brauchst zum Ableiten zusätzlich zur Produktregel aber auch noch die Kettenregel, da der Exponent nicht nur ein $x$ enthält, sondern eine Funktion (pink markiert) von $x$:$$f'(x)=\left(\underbrace{2000x}_{=u}\cdot \underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}+2500\right)'=\left(\underbrace{2000x}_{=u}\cdot \underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}\right)'+\underbrace{\left(2500\right)'}_{=0}$$$$\phantom{f'(x)}=\underbrace{2000}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{\pink{-0,5x}}}_{=v}+\underbrace{2000x}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{\pink{-0,5x}}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\pink{-0,5})}^{\text{innere Abl.}}}_{=v}=1000\,e^{-0,5x}\left(2-x\right)$$Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt also bei $x=2$.

Nun solltest du mit dem Rest weiter kommen...