E -Funktion Ableitungen

Question

Aufgabe:

Ich muss eine Kurvendiskussion durchführen und würde gerne um Hilfe bitten für die 3 Ableitungen der Funktion. …

Problem/Ansatz:

f(x) = 0,5 · e^{1-x^2} .

Ich bin am verzweifeln. Wäre lieb, wenn mir jemand hilft.

Comments

f(x) 0,5 mal e¹-x2 (1-x2 zusammen und als hoch zahl) 

Ich nehme an, Du meinst

f(x) = 0,5 e^{1-x^2}

Habe ich richtig angenommen?

Answer 1

\(f(x)=0,5\cdot e^{1-x^2} \)

\(f'(x)=0,5\cdot e^{1-x^2}\cdot(-2x)\)

\(f'(x)=-x \cdot e^{1-x^2}\)

Comments

wäre denn der lösungsansatz gut ?

f‘‘(x) 2x * e1-x2
f‘‘‘ (x) -4x2  * e1-x2

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\(f'(x)=-x \cdot e^{1-x^2}\)   nach der Produktregel ableiten:

\(f''(x)=(-1) \cdot e^{1-x^2}+(-x)\cdot e^{1-x^2}\cdot(-2x)\)

\(f''(x)=(-1) \cdot e^{1-x^2}+2x^2\cdot e^{1-x^2}\)

\(f''(x)=e^{1-x^2} \cdot (2x^2-1)\)

Answer 2

Die drei Ableitungen:

Answer 3

Hallo,

für Ableitungen von e-Funktionen kannst du dir merken, dass du "e" bzw. was davor steht, immer mit der Ableitung des Exponenten multiplizierst und den Exponenten beibehältst.

\(f(x)=e^{1-x^2}\)

Der Exponent ist \(1-x^2\) und die Ableitung -2x

Somit ist \(f'(x)=0,5\cdot (-2x)\cdot e^{1-x^2}=-x\cdot e^{1-x^2}\).

f'' und f'' bildest du ebenso.

Gruß, Silvia

Comments

f'' und f'' bildest du ebenso.

Ganz böse. Da braucht man nämlich die Produktregel!

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Ach Mist, das x habe ich übersehen.

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Mein letzter Satz ist - wie Apfelmännchen richtig angemerkt hat - Unfug.
Falls du Fragen zur Produktregel hast, melde dich!

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wäre denn dann diese Lösungsansätze richtig

f‘‘(x) 2x * e^1-x2

f‘‘‘ (x) -4x²  _{* e}^1-x2

^..

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Die Produktregel lautet

\( f(x)=u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x) \)

Hier also

\(u= -x\quad v=e^{1-x^2}\\ u'=-1\quad v'=-2xe^{1-x^2}\\\)

\(f''(x)=-1\cdot e^{1-x^2}-x\cdot (-2xe^{1-x^2})\\ =-e^{1-x^2}+2x^2\cdot e^{1-x^2}\\ =e^{1-x^2}\cdot (2x^2-1)\)

Answer 4

Es gilt:

f(x) =a*e^(g(x))

f '(x) =  a*e^(g(x)) * g'(x)

Faktor- und Kettenregel anwenden!

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Für weitere Ableitungen brauchst du zusätzlich die Produktregel.