Extremwertaufgabe Funktionsschar ln(x)

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Für a > 0 ist die Funktionenschar fa gegeben durch fa(x) = xIn(x) - ax

Durch einen Punkt P(u| fi(u)) auf dem Graphen von fi (also a = 1) mit
u > 1 wird eine Tangente t an den Graphen von fi gelegt. Diese Tangente schneidet die beiden Koordinatenachsen in einem Dreieck. Fertigen Sie eine Skizze zur beschriebenen Situation an. Geben Sie einen Term in Abhängigkeit von Bestimite sie intere des ni ascheibendue, dasser Ficheninate lässt.
Dreiecks minimal wird und bestimmen sie den minimalen Flächeninhalt.

Answer 1

Skizze:

Fläche A(u) des Dreiecks: A(u)=$\frac{1}{2}$·$\frac{u^2}{ln(u)}$. Nullstelle der ersten Ableitung ist Minimum. Rückfragen bitte im Kommentar.

Comments

Wie lautet die Tangentengleichung?

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Ja wie lautet die tangentengleichung?

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f₁(x)=x·ln(x) - x

f₁'(x)=ln(x)

Berührpunkt der Tangente (u|f(u)). Steigung der Tangente m=ln(u).

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Danke. Ich habe gerade einen Hänger.

Wenn ich f(x) = x*lnx+x ableite, komme ich auf: lnx+1+1 = lnx +2

Dann wäre doch die Ableitung an der Stelle x=0: lnu +2, oder?

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Vergleiche f₁(x)=x·ln(x) - x und f(x) = x*lnx+x.

Answer 2

$f_a(x)=x•ln(x)-a• x$  Mit $a=1$:

$f_1(x)=x•ln(x)- x$

$f'_1(x)=ln(x)+x•\frac{1}{x}- 1$

$f'_1(x)=ln(x)$

$f_1(u)=u•ln(u)- u$

$f'_1(u)=ln(u)$

Tangentengleichung:

$\frac{y-(u•ln(u)- u)}{x-u}=ln(u)$

Nullstelle: $y=0$

$\frac{0-(u•ln(u)- u)}{x-u}=ln(u)$

$-(u•ln(u)- u)=ln(u)•(x-u)$

$-u•ln(u)+u=ln(u)•x-ln(u)•u$

$u=ln(u)•x$

$x=\frac{u}{ln(u)}$

Schnitt mit der y-Achse: $x=0$

$\frac{y-(u•ln(u)- u)}{0-u}=ln(u)$

$\frac{y+(u•ln(u)- u)}{u}=ln(u)$

$y+(u•ln(u)- u)=ln(u)•u$

$y-(-u•ln(u)+ u)=ln(u)•u$

$y=ln(u)•u+(-u•ln(u)+ u)$

$y=ln(u)•u-u•ln(u)+ u$

$y= u$

Dreiecksfläche:

$A(u)= \frac{1}{2}•u•\frac{u}{ln(u)}$

$A(u)= \frac{u^2}{2•ln(u)}$

$A'(u)=\frac{2u•2 ln(u)-u^2•\frac{2}{u}}{4•ln^{2}(u)}$

$A'(u)=\frac{4u• ln(u)-2u}{4•ln^{2}(u)}$

$\frac{4u• ln(u)-2u}{4•ln^{2}(u)}=0$

$2u• ln(u)=u$

$2u• ln(u)-u=0$

$u•(2• ln(u)-1)=0$

$u_1=0$

$2• ln(u)=1$

$ln(u)=\frac{1}{2}$

$e^{ln(u)}=e^{\frac{1}{2}}$

$u= e^{\frac{1}{2}}$

$A(e^{\frac{1}{2}})= \frac{1}{2}•e^{\frac{1}{2}}•\frac{e^{\frac{1}{2}}}{ln(e^{\frac{1}{2}})}$    mit    $\ln(e)=1$

$A= 0,25•e$

Comments

Prima Antwort - ohne die Probleme des FS zu analysieren. Der FS hat nichts gelernt

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...ohne die Probleme des FS zu analysieren. Der FS hat nichts gelernt.

Das stimmt so nicht.

Der FS hat gefragt: Ja wie lautet die tangentengleichung?

Kommentiert vor 7 Stunden von Doksnoksn

Darauf bin ich u.a. eingegangen!

Wenn der FS meine Antwort genau durchgeht, hat er wohl etwas gelernt.

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Der FS hat gefragt: Ja wie lautet die tangentengleichung?

Die Gleichung steht übrigens als Kontrolle in seiner Aufgabe. Man beachte seine andere Frage zur Aufgabe.

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Die Gleichung steht übrigens als Kontrolle in seiner Aufgabe.

Wo siehst du da die Gleichung?

Ja wie lautet die tangentengleichung?
Kommentiert vor 9 Stunden von Doksnoksn

Man beachte seine andere Frage zur Aufgabe.

Ich finde keine andere Frage.

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Guckst du hier: https://www.mathelounge.de/1066525/funktionsschar-ln-x-aufgaben

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Also dort ist der FS schon nicht klar gekommen.