Geben Sie die Abbildungsvorschriften?

Question

Gegeben seien die folgenden beiden Abbildungen f, g :
f : IR → IR mit f(x) = −x³ − 2
g : IR → IR mit g(x) = (x + 1)² − 4
a) Geben Sie die Abbildungsvorschriften f ◦ g und g ◦ f an.
b) Untersuchen Sie, welche der Abbildungen f ◦g und g ◦f injektiv, surjektiv oder bijektiv
ist.

Answer 1

Hallo

bei f°g =f(g(x) setze einfach statt x g(x) in f ein

entsprechend f(x)  statt x in g bei g(f(x))

Dann sag welche der Eigenschaften injektiv, surjektiv oder bijektivdu nicht siehst oder zeigen kannst

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Uns sind zwei Funktionen vorgegeben:$$\red{f\colon\mathbb R\to\mathbb R\;;\;f(x)=-x^3-2}$$$$\green{g\colon\mathbb R\to\mathbb R\;;\;g(x)=(x+1)^2-4}$$

zu a) Die Verkettungen beider Abbildungen lauten:$$(\red f\circ \green g)(x)=\red f(\green g(x))=\red f(\green{(x+1)^2-4})=\red{-(\green{(x+1)^2-4})^3-2}$$$$\phantom{(\red f\circ \green g)(x)}=\red{-(\green{x^2+2x-3})^3-2}=\red{-(\green{(x+3)(x-1)})^3-2}$$$$\phantom{(\red f\circ \green g)(x)}=-(x+3)^3(x-1)^3-2$$$$(\green g\circ\red f)(x)=\green g(\red f(x))=\green g(\red{-x^3-2})=\green{(\red{(-x^3-2)}+1)^2-4}=\green(-x^3-1\green{)^2-4}$$$$\phantom{(\green g\circ\red f)(x)}=(x^3+1)^2-4$$

zu b) Da die Funktionen $\red f$ und $\green g$ über ganz $\mathbb R$ definiert sind und nach ganz $\mathbb R$ abbilden, sind auch die Verkettungen über ganz $\mathbb R$ definiert und bilden auch auf ganz $\mathbb R$ ab.

Prüfen der Injektivität

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Es ist $(\red f\circ \green g)(-3)=-2$ und $(\red f\circ \green g)(1)=-2$.

Der Funktionswert $(-2)$ wird also mehr als 1-mal getroffen.

Die Verkettung $(\red f\circ \green g)(x)$ ist nicht injektiv.

Es ist $(\green g\circ\red f)(1)=0$ und $(\green g\circ\red f)(-\sqrt[3]{3})=0$.

Der Funktionswert $0$ wird also mehr als 1-mal getroffen.

Die Verkettung $(\green g\circ \red f)(x)$ ist nicht injektiv.

Prüfen der Surjektivität

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Wir prüfen, ob es $x\in\mathbb R$ gibt, sodass $(\red f\circ\green g)(x)=123$ gilt:$$-((x+1)^2-4)^3-2=123\stackrel{+2}{\implies}$$$$-((x+1)^2-4)^3=125=5^3\stackrel{\sqrt[3]{\cdots}}{\implies}$$$$-((x+1)^2-4)=5\implies$$$$-(x+1)^2+4=5\stackrel{-4}{\implies}$$$$-(x+1)^2=1$$Die linke Seite der Gleichung ist für alle $x\in\mathbb R$ kleiner oder gleich Null. Daher gibt es keine Lösung, sodass die Verkettung $(\red f\circ\green g)(x)$ den Funktionswert $123$ niemals annimmt.

Die Verkettung $(\red f\circ\green g)(x)$ ist nicht surjektiv.

Da $(x^3+1)^2\ge0$ ist, gilt $(\green g\circ \red f)(x)\ge-4$.

Der Wert $(-5)$ aus der Zielmenge wird also z.B. nicht getroffen.

Die Vekrettung $(\green g\circ \red f)(x)$ ist daher nicht surjektiv.

Prüfen der Bijektivität

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.

Das ist genau dann der Fall, wenn eine Funktion injektiv und surjektiv zugleich ist.

Daher sind beide Verkettung nicht bijektiv.