Stetigkeit einer Funktion

Question

Aufgabe:

Für welche Werte des reellen Parameters \( a \) ist die Funktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \Large \frac{-x^{2}+(a+1) x-a}{x^{2}-3 x+2} & \text { für } x<1 \\\\ (a+1) x^{2}+(5-2 a) x-7+a & \text { für } 1 \leq x \end{array}\right. \)

a) in \( x=1 \) stetig?

b) auf ganz ℝ stetig?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte beim Lösen von den Teilaufgaben a und b helfen? Ich muss ja erst irgendeinen Grenzwert zuerst finden können, damit ich eine Aussage überhaupt treffen kann, welche Zahl für a ausgewählt werden muss, damit die Funktion gegen den Grenzwert läuft. Dies ist aber weder bei der oberen noch bei der unteren Funktion möglich. Ebenso, kann ich auch nicht die Teilaufgabe b rechnen. Auch dort bräuchte ich Hilfe bitte.

Answer 1

x=1 ist eine Nullstelle des Nenners, somit wäre x= 1 eine Polstelle. Es sei denn, du findest ein a, sodass x=1 auch die Nullstelle des Zählers ist und x=1 zu einer hebbaren Lücke der oberen Funktion wird. An diese hebbare Lücke kann dann die untere Funktion lückenlos andocken, falls das verwendete a auch unten passt.

Die Nennerfunktion oben hat noch eine zweite Nullstelle

Answer 2

Setze 1 in beide Teilfunktionen f1 und f2 ein.

Es muss gelten: f1(1) = f2(1)

Es soll wohl x>= 1 lauten, oder?

Comments

Es soll wohl \(x≥ 1\) lauten, oder?

\(1≤x\) ist richtig, weil in der 1.Zeile \(x<1\) identisch mit  \(1>x\)  ist.

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Stimmt, danke. Ich hatte nicht genau überlegt.

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Außerdem ist f1(1) nicht definiert, wie in der anderen Antwort schon erklärt wurde.