Wie zeige ich, dass F einen Endomorphismus von U definiert? +Det& Basis Endomorphismus

Question

Aufgabe:

(a)Sei \( U \subseteq \mathbb{R}^{3} \) der Lösungsraum der Gleichung \( x+y+z=0 \). Zeigen Sie, dass \( F(x, y, z)=(x+4 z, 2 y-3 z,-x-2 y-z) \) einen Endomorphismus von \( U \) definiert, und bestimmen Sie die Determinante dieses Endomorphismus von \( U \).
(b) Finden Sie eine Basis von \( U \), die aus Eigenvektoren für diesen Endomorphismus besteht.

Problem/Ansatz:

Ich hab hier folgende Def. nachgeschlagen: Was ist ein Endomorphismus?
Sei V ein k-Vektorraum. Ein Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung F: V®V.
Wie definiert man die Determinante eines ä
Sei F ein Endomorphismus des n-dimensionalen Vektorraums V. Für jede Basis B= b1,...,bn von V nimmt det(BMB(F)) den gleichen Wert an. Diesen gemeinsamen Wert nennt man die Determinante det(F) des Endomorphismus.

Ich hätte jetzt erstmal F(x,y,z) in die Matrix F= \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & -1\end{array}\right) \) umgewandelt

(a) habe ich einfach die Determinate der Matrix bestimmt mit detA=0, zeigen wieso F ein Endomorphismus ist, kann ich nicht& da bräuchte ich Hilfe.

(b) ich habe anscheinend die EW: 0, -1, 3 bestimmt und die EV:

\( \left(\begin{array}{l}-8 \\ 3 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ -3 \\ 1\end{array}\right) \)

War das was ich machen musste? Und wie zeige ich, dass F einen Endomorphismus von U definiert?

Grosses Danke :)

Answer 1

Lösungsraum von \( x+y+z=0 \) ist    \(U = \{ \begin{pmatrix} -s-t\\s\\t \end{pmatrix}| s,t \in \mathbb{R} \}\)   #

\( = \{s \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}| s,t \in \mathbb{R} \}\)  

Durch \( F(x, y, z)=(x+4 z, 2 y-3 z,-x-2 y-z) \) wird jedenfalls

ein Homomorphismus von U nach ℝ³ definiert.

Das ist ein Endomorphismus, wenn alle

Bilder wieder in U liegen.

Prüfe dazu \( F(-1, 1, 0)=(-1, 2 ,-1) \in U \) ? Das ist erfüllt für

s=2 und t=-1 in #. Und entsprechend

\( F(-1, 0, 1)=(3, -3 ,0) \in U \) ? ist auch erfüllt.

Also ist es ein Endomorphismus. Denn

\( = F(s \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} )\) 

\( = s\cdot F( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix})+t \cdot F(\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} ) \in U .\)

Bei b) brauchst du ja eine Basis von U. Du musst also schauen,

welche der Eigenvektoren \( x+y+z=0 \) erfüllen.

Comments

okay wow danke, das war wirklich einleuchtend. :) Wie kann ich davon jetzt die Determinante berechnen?

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Es ist ja U 2-dimensional und bezüglich der Basis aus

Eigenvektoren ist die Matrix ja das Produkt der beiden

Eigenwerte.