Ich schreibe momentan eine Facharbeit in Mathematik bzgl. der Analogie zwischen der Fourier Analysis und der linearen Algebra. Dabei habe ich mich bei der Herleitung der Fourierreihe auf die Exponentialfunktion e2πikt/T als Orthonormalbasis im L2([−T/2;T/2]) gestützt. Hinsichtlich der Erweiterung der Fourierreihe auf nicht periodische Funktion mittels der kontinuierlichen Fourier Transformation ergibt sich für die Fourier Transformierte einer Funktion f(t)∈L2(R) schließlich
f^(ω)=∫−∞∞f(t)e−2πiωtdt
Jedoch bildet e2πiωt keine Orthonromalbasis für ω∈R, da e2πiωt∈/L2(R).
Frage: Wenn e2πiωt keine Orthonormalbasis im L2(R) bildet, wieso funktioniert die Fourier Transformation trotzdem? Normalerweise habe ich mir die Fourier Transformation als einen Basiswechsel einer Funktion f vorgestellt. Macht diese Interpretation für die Fourier Transformation weiterhin Sinn?
Vielen Dank im Voraus!