Zeigen Sie, dass es eine Galoiserweiterung E/Q gibt mit Gal(E/Q) ≅ Z/5Z?

Question

Hallo, habe folgende Klausuraufgabe gefunden, weiß aber leider nicht wie man diese lösen kann.

Zeigen Sie, dass es eine Galoiserweiterung E/Q gibt mit Gal(E/Q) ≅ Z/5Z?

Kann mir da jemand helfen?

Comments

Mein erster Ansatz wäre, solch eine Körpererweiterung einfach anzugeben.

Weißt du etwas über Kreisteilungspolynome? Lässt sich das Wissen hier anwenden?

Generell gilt: Es gibt nur eine Gruppe mit fünf Elementen. Sobald du gezeigt hast, dass es nur fünf Automorphismen von $E$ gibt, die $\mathbb{Q}$ festlassen, bist du fertig.

Da du nur die Existenz zu zeigen hast, könntest du auch den Hauptsatz der Galoistheorie verwenden.

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Um hier etwas ins Detail zu gehen, gestern hatte ich nicht viel Zeit dafür:

Du weißt hoffentlich, dass $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}_n)^\ast$ auf natürliche Weise: Der Isomorphismus schickt einen $\mathbb{Q}$-fixierenden Automorphismus $\alpha$ von $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ auf die Zahl $a\mathrel{\text{mod}} n$, sodass $\alpha(\zeta_n)=\zeta_n^a$.

Da $|(\mathbb{Z}_n)^\ast| = \varphi(n)$, wäre unser erster Ansatz ein $n\in\mathbb{N}$ zu finden mit $\varphi(n)=5$. Gibts nicht, doof ($\varphi(n)$ ist $1$ oder gerade). Aber $\varphi(11)=10$, das ist so gut wie es geht.

Jetzt wissen wir also schonmal, dass $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}_{11})^\ast\cong C_{10}$ (multiplikative Gruppen endlicher Körper sind zyklisch).

Um von $C_{10}$ nach $C_5$ zu kommen, müssen wir einen Normalteiler $C_2\vartriangleleft C_{10}$ finden, und wissen durch den Fundamentalsatz der Galoistheorie, dass wir auch eine Zwischenerweiterung bekommen, die genau den Quotienten als Galoisgruppe hat. Die Untergruppe $G$ generiert durch den Automorphismus $\alpha:\zeta_{11}\mapsto\zeta_{11}^{10}$ von Ordnung $2$ tut den Job, dessen Fixkörper ist $\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})$, aber den müsstest du ja nichtmal angeben.

Der Fundamentalsatz der Galoistheorie sagt uns jetzt, dass $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q})\cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})/G=C_5$ gelten muss. Bleibt nurnoch in einem Satz zu erwähnen, wieso $\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q}$ eine Galoiserweiterung ist.

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Danke vielmals, ich werd mir das ganze jetzt mal anschauen. Falls ich doch noch Hilfe brauchen sollte melde ich mich. Sieht aber glaub ich super aus. Vielen Dank!

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Wäre die Begründung das $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q})$ eine Galoiserweiterung ist, diese das $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q})= \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11},\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q})= \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})$ ist?

Und $\mathbb{Q}(\zeta_{11})$ ist eine Galoiserweiterung aufgrund dessen das es ein Zerfällungskörper eines Kreisteilungspolynom ist?

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Dass das eine Galoiserweiterung ist, wird meist schon im Umfeld des Hauptsatzes in der Vorlesung bewiesen.

Die Normalteiler korrespondieren zu normalen Zwischenerweiterungen.