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Aufgabe:


blob.png

Text erkannt:

1) Differenziere implizit und ermittle, in welchen Punkten die Kurve waagrechte bzw. senkrechte Tangenten hat.
a) \( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)



Problem/Ansatz:

Hey Leute, wie komme ich bei dieser Aufgabe weiter? Ich habe y' schon berechnet.

blob.png

Text erkannt:

\( y^{\prime}=\frac{2 x-6}{2 y-10} \)

Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Aber ich komme bei der Frage, in welchen Punkten die Kurve .... nicht weiter.

Bitte um Hilfe

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Dieser Weg führt doch auch zu den gesuchten Tangenten: (Wie es auch bei der bemängelten Antwort bei der Ellipse möglich wäre.)

\( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)

\( f(x,y)=(x-3)^{2}+(y-5)^{2}-36 \)

\( f_x(x,y)=2(x-3) \)

\( f_y(x,y)=2(y-5) \)

\(2(x-3)=0 \)

\(x=3 \)

\(2(y-5)=0 \)

\(y=5 \)

waagerechte Tangenten bei  \(x=3 \):  \( (3-3)^{2}+(y-5)^{2}=36 \)

→  \(y_1=11 \) oder \(y_2=-1 \)

senkrechte Tangenten bei \(y=5 \):  \( (x-3)^{2}+(5-5)^{2}=36 \)

→  \(x_1=9 \) oder \(x_2=-3 \) 

2 Antworten

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Die Kurve beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt \( M(3|5) \) und Radius 6. Waagerechte Tangenten, wenn \( y'=0 \), senkrechte Tangenten, wenn \( x'=0 \). Die jeweils andere Koordinate erhält man durch Einsetzen in die Gleichung.

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Du hast einen Vorzeichenfehler und hast noch einen unnötigen Faktor 2 in deinem Ausdruck für \(y'\).


Die Ausgangsgleichung ist

\(\boxed{(x-3)^2+(y-5)^2=36\quad (1)}\)


Implizite Differentiation ergibt

\(2(x-3) + 2(y-5)y' = 0 \Leftrightarrow (x-3) + (y-5)y' = 0\)

\(\stackrel{y-5 \neq 0}{\Leftrightarrow} \boxed{y' = -\frac{x-3}{y-5} \quad (2)}\)


Waagerechte Tangente:

\(\bm{y'=0} \Leftrightarrow x=3\) und \(y(3)\neq 5\)

Einsetzen von \(x=3\) in (1) ergibt

\(y=-1\) und \(y=11\).

\(\Rightarrow\) waagerechte Tangente in \((3|-1)\) und \((3|11)\).


Senkrechte Tangente:

\(\bm{|y'|=\infty} \Leftrightarrow y=5\) und \(x(5)\neq 3\)

Einsetzen von \(y=5\) in (1) ergibt

\(x=-3\) und \(x=9\).

\(\Rightarrow\) senkrechte Tangente in \((-3|5)\) und \((9|5)\).

Das Ergebnis ist nicht überraschend, denn Gleichung (1) ist eine Kreisgleichung:


circle.JPG



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