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Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 2 Gr hat bei x=4 eine Nullstelle und im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente.



Problem/Ansatz:

Wie lautet die Gleichung der Funktion?

Berechnen die Tangentensteigungen an den Nullstelle der Funktion

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe

vor von

4 Antworten

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Berechnen die Tangentensteigungen an den Nullstelle der Funktion

f(x) = - 2/9·x^2 + 4/9·x + 16/9 = - 2/9·(x^2 - 2·x - 8) = - 2/9·(x + 2)·(x - 4)

f'(x) = 4/9 - 4/9·x

f'(-2) = 4/3 = 1.333

f'(4) = -4/3 = -1.333

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Aloha :)

"Eine Polynomfunktion 2-ten Gerades hat bei \(x=4\) eine Nullstelle." Eine Nullstelle in Steckbriefaufgaben ist immer ein besonderes Geschenk, weil wir dadurch sofort wissen, dass das Polynom den Faktor \((x-4)\) enthalten muss. Das Polynom sieht also wie folgt aus:$$p(x)=a(x-4)(x+b)\quad;\quad a\ne0$$Beachte, dass \(a\ne0\) sein muss, sonst steht da \(p(x)=0\). Im Punkt \(P(1;2)\) hat die Gesuchte eine waagerechte Tangente, d.h. \(p'(1)=0\). Die Ableitung von \(p(x)\) ist nach Produktregel:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)$$$$\Rightarrow\;\;0=p'(1)=a(1+b)-3a=ab-2a\;\;\Rightarrow\;\;ab=2a\;\;\Rightarrow\;\;\underline{b=2}$$Jetzt nutzen wir noch die Koordinaten des Punktes \(P(1;2)\) aus, denn:$$2=p(1)=a(1-4)(1+b)=a(1-4)(1+2)=-9a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=-\frac{2}{9}}$$Et voila, haben wir das gesuchte Polynom:$$\underline{p(x)=-\frac{2}{9}(x-4)(x+2)}$$

Dieses Polynom hat offensichtlich die Nullstellen \(x_1=4\) und \(x_2=-2\). Für diese sollst du noch die erste Ableitung, also die Tangentensteigung berechnen. Oben hatten wir:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)=-\frac{2}{9}(x+2+x-4)=-\frac{2}{9}(2x-2)=-\frac{4}{9}(x-1)$$$$\Rightarrow\quad p'(x_1=4)=-\frac{4}{9}(4-1)=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$$$$\Rightarrow\quad p'(x_2=-2)=-\frac{4}{9}(-2-1)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$$

vor von 3,9 k
+1 Daumen

Eine Polynomfunktion 2 Gr hat bei x=4 eine Nullstelle und
im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente.


P ( 1 | 2 ) ist also ein Extrempunkt.
Nach oben oder unten geöffnete Parabel ?
Hoch-oder Tiefpunkt ?
Weiterer Punkt ( 4 | 0 ) => nach unten
geöffnet | Hochpunkt
Scheitelpunktformj
f ( x ) = a * ( x - xs )^2 + ys
f ( x ) = a * ( x - 1 )^2 + 2
f ( 4 ) = a * ( 4 - 1 )^2 + 2 = 0
a * 3^2 + 2 = 0
a = -2/9

f ( x ) = -2/9 * ( x - 1 )^2 + 2
Normalform
f ( x ) = -2/9 * ( x - 1 )^2 + 2
f ( x ) = -2/9 * ( x^2 - 2x + 1 ) + 2
f ( x ) = -2/9*x^2 + 4/9 * x + 16/9

Tangensteigungen Nullstellen
1.Ableitung
f ´( x ) = -4/9 * x + 4/9
x = 4
f´( 4 ) = -12/9

x = -2
f ´( -2 ) = + 12/9
Auch erschließbar über die Symmetrie einer Parabel

vor von 89 k
+1 Daumen

Eine Polynomfunktion 2 Grades, die im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente hat, hat dort ihren Scheitelpunkt. Ansatz (Scheitelpunktform) y=a·(x-1)2+2. P(4|0) eisetzen: 0=a·(4-1)2+2. Dann ist a=-2/9. y=-2/9·(x-1)2+2=-2/9(x2-2x+1)+2=-2/9·x2+4/9·x+16/9.

vor von 60 k

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