Aufgabe:
Was ist der Grenzwert von der Folge
limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim(23 \frac{2}{3} 32)n+ (−23 \frac{-2}{3} 3−2)n
Problem/Ansatz:
Ich habe als Ergebnis 0, aber ich bin wegen (-2/3)n verwirrt.
Aloha :)
an=(23)n+(−23)n={(23)n+(23)n=2⋅(23)nwenn n gerade(23)n−(23)n=0wenn n ungeradea_n=\left(\frac23\right)^n+\left(-\frac23\right)^n=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac23\right)^n+\left(\frac23\right)^n=2\cdot\left(\frac23\right)^n & \text{wenn \(n\) gerade}\\[2ex]\left(\frac23\right)^n-\left(\frac23\right)^n=0 & \text{wenn \(n\) ungerade}\end{array}\right.an=(32)n+(−32)n=⎩⎪⎨⎪⎧(32)n+(32)n=2⋅(32)n(32)n−(32)n=0wenn n geradewenn n ungeradeWir halten für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N fest:0≤an≤2⋅(23)n→2⋅0=00\le a_n\le2\cdot\left(\frac23\right)^n\to2\cdot0=00≤an≤2⋅(32)n→2⋅0=0Daher konvergiert die Folge gegen Null: (an)→0(a_n)\to0(an)→0.
(-2/3)n = (-1)n*(2/3)n
Klammere (2/3)n aus.
(23 \frac{2}{3} 32)n+ (−23 \frac{-2}{3} 3−2)n=0 für alle ungeraden n. Für gerade n ergibt sich 2n+13n \frac{2^{n+1}}{3^n} 3n2n+1 . Es gibt also keinen Grenzwert.
Doch, den gibt es.
Es gilt liman=0\lim a^n = 0liman=0, falls ∣a∣<1|a|<1∣a∣<1, also hier lim(23)n+(−23)n=0+0=0\lim (\frac23)^n+(-\frac23)^n = 0+0 =0lim(32)n+(−32)n=0+0=0.
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