Extremwertaufgabe Fläche Inhalt

Question

Aufgabe:

Die y-achse sowie die Graphen von f,g und der Geraden x= 2,88675

begrenzen eine Fläche. in dieser fläche soll ein Rechteck mit maximalen Inhalt

einbeschrieben werden. Untersuchen sie , wie gross der maximale Rechtinhalt ist und welche Längen die Seiten haben.

Funktion : 1/25x⁴ - 2/3x² + 52/9

Problem/Ansatz:

wie kann ich diese aufgabe lösen?

kennt jemand aus?

das ist eine sehr wichtige aufgabe die in der Prüfung vorkommt, deshalb bitte ich jemand der diese aufgabe komplett lösen kann mit hauptbed und nebenbed .... das ich ein ganzes überblick habe und mich dann vorbereiten muss.

ich bitte um hilfe.

Comments

Funktionsgleichungen von f und g?

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Funktion : 1/25x⁴ - 2/3x² + 52/9 

Das ist keine Funktion.

Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift enthält ein Gleichheitsszeichen.

Erwähnt werden zwei Funktionen f und g. Wie lauten die?

der maximale Rechtinhalt

Das steht sicher anders in der Aufgabe.

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Text erkannt:

Aufgabe 6: Die $y$-Achse sowie die Graphen von $f, g$ und der Geraden $x=2,88675$ begrenzen eine Fläche. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben werden. Untersuchen Sie, wie groß der maximale Rechtinhalt ist und welche Längen die Seiten haben.

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also g(x) = 1

...und da hat tatsächlich jemand "Rechtinhalt" geschrieben. Gemeint ist Flächeninhalt des Rechtecks.

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ja ich glaube auch

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... weil Du schon mehr als einmal gefragt hast:

Die Hauptbedingung (oder Zielfunktion) ist die Funktion, die maximiert oder minimiert werden soll. Also ist das hier der Flächeninhalt des Rechtecks. Ist die horizontale Ausdehnung des Rechtecks $b$ für die Breite und $h$ für die Höhe, so ist die Hauptbedingung schlicht$$A = bh \to \max$$wenn $A$ die Fläche ist. Und $A$ soll maximiert werden

Die Nebenbedingung schränkt im Allgemeinen die Hauptbedingung ein. In diesem Fall soll das Rechteck in den beschriebenen Bereich von $x=0$ (der Y-Achse), $x= 5\sqrt{3}/3$ alias $x\approx2,89$ und den Funktionen $f$ und $g$ hinein passen.

Um dass heraus zu bekommen solltest Du Dir eine Skizze machen (s. Antwort von Moliets) und dann die Zusammenhänge heraus arbeiten. Hier ist das Rechteck bündig zur Y-Achse und zur Funktion $g$ und die rechte obere Ecke liegt auf $f$.

Daraus folgt dann die Nebenbedingung$$h = f(b) - g(b)$$

Answer 1

Maximiere den Flächeninhalt des Rechecks

$\displaystyle A= x\left(\frac{x^{4}}{25}-\frac{2 x^{2}}{3}+\frac{52}{9}-1\right)$

im Intervall x = 0 bis x = 2,88675 und beachte dabei allfällige Randextrema.

Comments

das ist keine losung , ich brauche hauptbed neben bed... bitte lösen sie die aufgabe vollständig!

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Die Hauptbedingung steht in der zweiten Zeile.

Die Nebenbedingung steht in der dritten Zeile.

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Maximiere den Flächeninhalt des Rechecks ...

führt im besten Fall zu $x_{\max}= \sqrt{5-\frac{1}{3}\sqrt{10}}$ und damit zum falschen Ergebnis!

Hinweis: beachte die Grenzen des Definitionsbereichs

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Deshalb habe ich geschrieben, was ich nach "und" geschrieben habe.

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das ist keine losung , ich brauche hauptbed neben bed... bitte lösen sie die aufgabe vollständig!

Wie frech ist das denn bitte? Löse DEINE Aufgabe bitte selbst!

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warum gibt's hier kein netten man oder frau die mir durch diese aufgabe hilft ? ist doch egal ob ich das selbst löse oder nicht das ist mein problem.

ich möchte einfach die lösung sehen mehr nicht.

danke im voraus

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Der Weg zu Deinem Ziel steht in meiner Antwort.

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das ist mein problem.

Kinder sind unsere Zukunft. Diese Einstellung der Generation Z ist ein Problem aller Menschen und nicht nur deines. Ich möchte hier an dieser Stelle aber auch keine Grundsatzdiskussion starten, denn ich habe dazu alles gesagt. Wer sich nicht einmal ansatzweise Mühe gibt, hat aus meiner Sicht keine vollständige Lösung verdient (einen Abschluss, was für einen auch immer, eigentlich auch nicht).

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führt im besten Fall zu $x_{\max}= \sqrt{5-\frac{1}{3}\sqrt{10}}$ und damit zum falschen Ergebnis!

Laut meiner Zeichnung ist da aber das Maximum.

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Laut meiner Zeichnung ist da aber das Maximum.

Das ist korrekt. Aber es ist nur ein lokales Maximum. Das Rechteck mit dem $x$-Wert vom rechten Rand des Definitionsbereichs ist etwas größer. Probier's einfach aus!

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Was ist die rechtige Ergebnisse?

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Danke dir! Auf was man alles achten muss.

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Was ist die rechtige Ergebnisse?

Das steht in meiner Antwort. Was das konkret ergibt, steht im Kommentar von Werner-Salomon 10 Minuten vor Deiner Rückfrage (derjenige Kommentar, der mit "aus!" endet).

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Also die maximale ist 2,9

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Also die maximale ist 2,9

Die maximale was?

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Fläche

Und die Seitenlänge ist auch 2,9 und 1

Oder falsch?? Oh man ich kriege die Krise kann jemand mir einfach die komplette lösung zeigen??

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Das wäre falsch. Wie kommst Du auf 2,9? Tu einfach das, was in meiner Antwort steht. Es kann helfen, dabei die von Dir nachgereichte Skizze anzuschauen. Es geht um das getüpfelte Rechteck.

Es ist unklar, was Dir unklar ist. Ich schrieb, "maximiere den Flächeninhalt des Rechecks" und habe die Funktion angegeben. Wie würdest Du das maximieren wollen? Und wie würdest Du dabei "allfällige Randextrema" beachten wollen?

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Es tut mir leid aber ehrlich gesagt ich habe keine Ahnung.. Ich würde deine Lösung sehr gut gebrauchen... Da ich mehr als Monat wegen mein gesundheitlichen Situation gefehlt habe.. Und jetzt kurz vor der Prüfung, deswegen brauche ich unbedingt die komplette lösung.. Ich wäre dir sehr dankbar wirklich

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Was nicht meine Frage beantwortet, wie Du auf 2,9 gekommen bist.

Man findet lokale Extremstellen einer Funktion, indem man deren erste Ableitung gleich null setzt und die Gleichung löst. In Deinem Fall kann das Maximum aber auch an einem Rand des Definitionsbereichs (der in der Aufgabe steht) sein, deshalb schrieb ich, das auch noch zu beachten. Setze also x = 0 und dann x = 2,88675 in die Funktion ein und schaue, ob ein Randmaximum größer als das vorher mit der Ableitung gefundene lokale Maximum ist.

Da Du nun mitgeteilt hast, dass wegen gesundheitlich bedingter Absenzen "ehrlich gesagt ich habe keine Ahnung", solltest Du nicht nach der Lösung fragen, sondern danach, wie man das löst. Denn die Lösung nützt Dir rein gar nichts im Hinblick auf die erwähnte bevorstehende Prüfung.

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Auf was man alles achten muss.

Bei vorgegebenen Grenzen macht man immer eine Randwertbetrachtung. Immer!

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Falls kein rechter Randwert existiert, müsste doch meine Lösung stimmen?

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Falls kein rechter Randwert existiert, müsste doch meine Lösung stimmen?

Falls kein rechter Randwert existiert, ist Deine Lösung immer noch ein lokales Maximum und ein Rechteck mit einer X-Koordinate der rechten Ecken von $x\approx 3$ und größer wächst mit wachsendem $x$ über alle Grenzen.

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Danke für die Infos!

Answer 2

Zielfunktion:

$A=u\cdot [f(u)-1]$ soll maximal werden.

Nebenbedingung:

$f(u)= \frac{1}{25}u^4-\frac{2}{3}u^2 +\frac{52}{9}$

$A=u\cdot [\frac{1}{25}u^4-\frac{2}{3}u^2 +\frac{43}{9}]=\frac{1}{25}u^5-\frac{2}{3}u^3 +\frac{43}{9}u$

$A'=\frac{1}{5}u^4-2u^2 +\frac{43}{9}$

$\frac{1}{5}u^4-2u^2 +\frac{43}{9}=0$

$u^4-10u^2 =-\frac{215}{9}$

$u^4-10u^2+5^2 =-\frac{215}{9}+5^2$

$(u^2-5)^2 =\frac{10}{9} |±\sqrt{~~}$

1.)

$u^2-5 =\frac{1}{3} \sqrt{10}$

$u^2 =5+\frac{1}{3} \sqrt{10}|±\sqrt{~~}$

A)

$u_1 =\sqrt{5+\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈2,46$

B)

$u_2 =-\sqrt{5+\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈-2,46$   Kommt nicht in Betracht.

2.)

$u^2-5 =-\frac{1}{3} \sqrt{10}$

$u^2 =5-\frac{1}{3} \sqrt{10}|±\sqrt{~~}$

C)

$u_3 =\sqrt{5-\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈1,98$

D)

$u_4 =-\sqrt{5-\frac{1}{3} \sqrt{10}}≈-1,98$  Kommt nicht in Betracht.

Flächenberechnungen führen zu dem maximalen u.

Comments

danke,

und was ist die Hauptbed?

und die Definitionsbereich brauche ich auch

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und was ist die Hauptbed?

Hauptbedingung und Zielfunktion sind identische Begriffe.

Definitionsbereich:

$0≤x≤2,88675$

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vielen lieben dank, also was sind die antworten ?

wie gross der maximale Rechtinhalt ist und welche Längen die Seiten haben.?

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Dass Hauptbedingung und Zielfunktion identische Begriffe sind, hat Dir jemand schon vor drei Tagen bei einer anderen Aufgabe aufgeschrieben.

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Hauptbedingung und Zielfunktion sind identische Begriffe.

Sehe ich anders. Die Zielfunktion ist letztendlich die Funktion, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. Die Hauptbedingung hängt von mehreren Variablen ab. Ich würde es daher nicht unbedingt synonym verwenden.

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Also in der Ökonomie, meinem Gebiet, sehe ich dauernd mehrvariate Zielfunktionen. Wahrscheinlich ist "Hauptbedingung" ein mathematikdidaktisches Ding aus Deutschland für die Mittelschule. Ich weiß nicht, von wo der Fragesteller herkommt. Da wo ich herkomme, wird der Begriff bei Optimierungen nicht verwendet.

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Zumindest in NRW wird in der Oberstufe bei Extremwertaufgaben zwischen Hauptbedingung und Zielfunktion genau auf diese Weise unterschieden. Es werden aber auch keine multivariaten Funktionen behandelt. Allgemein spricht man in der Optimierung natürlich nur von Zielfunktion, ich finde es aber auch nicht verkehrt, den Schülern zu erläutern, dass die Zielfunktion am Ende eben nur noch von einer Variablen abhängt, damit man sie eben optimieren kann.