Schreiben Sie f als Linearkombination der Vektoren

Question

Aufgabe:

Sei V=ℂ⁵ als ℂ-Vektorraum zu betrachten und sei (e₁, e₂, e₃, e₄, e₅) die kanonische Basis von V. Sei

f: V->ℂ, (x₁, x_2, x_3, x_4, x₅) ↦ α₁x₁+ α₂x₂+ α₃x₃+ α₄x₄+α₅x₅   α_i∈ ℂ, i=1,2,3,4,5.

Schreiben Sie f als Linearkombination der Vektoren der dualen Basis (e₁*, e₂*,  e₃*, e₄*, e₅*) des Dualraums V*.

Comments

Für die kanonische Basis {e_i} ist doch e_i^*= e_i

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Weißt Du denn, wie die duale Basis definiert ist?

Answer 1

Sei x∈V, also $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ wie in der Def. von f, das heißt

$x= x_1e_1+ x_2e_2+x_3e_3+ x_4e_4+ x_5e_5$

Dann ist z.B. $e_1^*(x)= e_1^*(x_1e_1+ x_2e_2+x_3e_3+ x_4e_4+ x_5e_5)$

Wegen der Linearität also

$e_1^*(x)= x_1e_1^*(e_1)+ x_2e_1^*(e_2)+x_3e_1^*(e_3)+ x_4e_1^*(e_4)+x_5e_1^*(e_5)$

Nach Def. der dualen Basis also

$e_1^*(x)= x_1\cdot 1+ x_2\cdot 0+x_3\cdot 0+ x_4\cdot 0+x_5\cdot 0 =x_1$ #

Analog für die anderen Indices 2,3,4,5.

Also nimmst du die α_i aus der Def. von f und hast für alle x∈V:

$(\alpha_1e_1^*+\alpha_2e_2^*+\alpha_3e_3^*+\alpha_4e_4^*+\alpha_5e_5^*)(x)$

$=\alpha_1e_1^*(x)+\alpha_2e_2^*(x)+\alpha_3e_3^*(x)+\alpha_4e_4^*(x)+\alpha_5e_5^*(x)$

Also nach #

$=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3+\alpha_4x_4+\alpha_5x_5 =f(x)$

Also ist die gesuchte Linearkombination:

$f= \alpha_1e_1^*+\alpha_2e_2^*+\alpha_3e_3^*+\alpha_4e_4^*+\alpha_5e_5^*$