Textaufgabe mit Helikopter zur Analytischen Geometrie !?

Question

2 Helikopter sind gegeben :

Heli 1 = A ( 10 / 20 / 0,2 ) fliegt in Richtung B ( 40 / 40 / 0,2 )

und gleichzeitig fliegt Heli 2 von B ( 40 / 40 / 0,2 ) in Richtung D ( 5 / 35 / 0,15 )

Aufgabe : Heli 1 soll auf der Hälfte der Strecke AB im Punkt M seinen Cours ändern wegen einer Nebelfront ( Ebene )

--> Nebelfrontlage : E = x = ( 20 / 30 / 14, 2 ) + r* ( -3 / -2 / 4 ) +s* ( 4 / 1 / -7 )  ( natürlich alles in Vektorschreibweise )

Heli 1 fliegt nun von M aus über C ( 25 / 45 / 0,25 ) nach B ( 40 / 40 / 0,2 ).

Berechne die Länge des zusätzlich zurückgelegten Weges durch die Kursänderung.

Zeige, dass der Heli 1 den Kurs vor der Nebelfront ändert. Ermittle den Winkel zw. dem ursprünglichen & dem geänderten Kurs in M.

Weise nach, dass ein Zusammenstoß der beiden Helikopter, nach Kursänderung von Heli 1, ausgeschlossen ist.

Puuuuh kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen ! Danke im Voraus :P

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Angaben aus Duplikatsfrage:

Nebelwand: E: x=(20/30/14,2)+s((-3/-2/4)+t(4/1/-7)

Startpunkt: (25/30/0,2) --- Zielpunkt:  (30/40/0,2)

Wie zeigt man durch Rechnung, dass der Heli parallel zur Nebelwand fliegt?

Comments

Ein Heli bewegt sich parallel zur Nebelfront wenn sein Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor der Nebelfront ist. Zwei Vektoren sind senkrecht, wenn das Skalarprodukt Null ist. Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren.

Answer 1

Als erstes berechnet man die Geradengleichung der ersten Bahn von Heli1: Dafür braucht man den Richtungsvektor B-A:

v = B-A = (30, 20, 0)

Dann gilt für die Geradengleichung:

g: x = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)

Die Hälfte der Strecke ist bei t = 1/2 erreicht, also liegt der Punkt M bei:

M = (10, 20, 0.2) + 1/2*(30, 20, 0) = (25, 30, 0.2)

1.) Zeige dass der Heli den Kurs vor der Nebelfront ändert. Zu zeigen ist, dass der Schnittpunkt von g und E für t einen Wert größer als 1/2 annimmt, dann liegt M vor der Nebelfront.

Für den Schnittpunkt müssen die beiden Ortsvektoren gleichgesetzt und die Parameter eliminiert werden:

(20, 30, 14.2) + r*(-3, -2, 4) + s*(4, 1, -7) = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)

Man erhält drei Gleichungen:

20 -     3r + 4s = 10+30t
30 -     2r +   s = 20 + 20t
14.2 + 4r - 7s = 0.2

30t + 3r - 4s = 10  (I)
20t + 2r -   s = 10  (II)
       - 4r +7s = 14  (III)

Addiert man das (-2)fache der ersten Zeile zum dreifachen der zweiten Zeile, erhält man:

30t + 3r - 4s = 10
                 5s = 10
        -4r +7s = 14

Also s = 2, eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt sich r = 0

Damit erhält man für die erste Gleichung:

30t - 8 = 10   |+8

30t = 18   |:3
10t = 6  |:10
t = 0.6 > 0.5

Also liegt M vor der Nebelfront.

2.) Ermittle den Winkel.

Jetzt brauchen wir den zweiten Richtungsvektor: Der lautet C-M:

w = C-M = (25, 45, 0.25)-(25, 30, 0.2) = (0, 15, 0.05)

Für den Winkel gilt:

cos φ = <v, w>/(|v|*|w|)
(Hier bedeutet <v, w> das Skalarprodukt zwischen den Vektoren, das kann ich ja hier leider nicht so gut mit Pfeilen über den Buchstaben darstellen.)

<v, w> = (30, 20, 0)*(0, 15, 0.05) = 300

|v|² =  900 + 400 = 1300
|w|² = 225 + 0.0025 = 225.0025

|v|*|w| ≈ 540,836

cos φ ≈ 0.5547

φ ≈ 56.31°

3.) Berechne die Länge des zusätzlichen Weges:

Erstmal brauchen wir die Länge des alten Weges, die beträgt |v| ≈ 36.056
Die Länge des neuen Weges ist dann insgesamt:

L = |v|/2+|w|+|u|

Wenn u = B-C ist.
u = (40, 40, 0.2) - (25, 45, 0.25) = (15, -5, -0,05)
|u|² = 225 + 25 + 0.0025
|u| ≈ 15.811

Damit erhält man:
L ≈ 48.839
und für die Differenz:

d = L - |v| ≈ 12.783

4.) Jetzt müssen die Geraden f (vom 2. Heli), h (vom 1. Heli nach der ersten Kursänderung) und k (vom 1. Heli nach der zweiten Kursänderung) und jeweils deren Schnittpunkte berechnet werden. Damit die Hubschrauber nicht kollidieren können gibt es drei Möglichkeiten:

I) Die jeweiligen Geraden sind windschief und schneiden sich nicht.
II) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter kleiner als 0: dieser Punkt läge in der Vergangenheit und ist damit irrelevant.
III) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter größer als 1: dieser Punkt liegt hinter dem Zielpunkt und ist damit irrelevant.

f: x = (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05)

h: x = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05)

k: x = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05)

Schnittpunkte:

f und h: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05)   |-(25, 30, 0.2)

(15, 10, 0) + c*(35, 5, 0.05) = e*(0, 15, 0.05)

Ergibt das Gleichungssystem:

15 + 35c = 0
10 +   5c = 15e
     0.05c = 0.05e

Aus der dritten Gleichung folgt c=e. Das kann man in die zweite Gleichung einsetzen und erhält:

10 + 5e = 15e  |-5e

10 = 10e  |:10

e = 1

Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich der Widerspruch 50 = 0. Also sind die Geraden windschief -> es gibt keinen Schnittpunkt und damit auch keine Kollision.

 

f und k: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05)  |-(25, 45, 0.25)

(15, -5, -0.05) + c*(35, 5, 0.05) = i*(15, -5, 0.05)

15 + 35c = 15i
-5  +   5c =  -5i
-0.05 + 0.05c = 0.05i

Dieses Mal erhält man aus der letzten Gleichung: i= c-1 Eingesetzt in die anderen beiden Gleichungen:

15 + 35c = 15c - 15
-5 + 5c = -5c + 5

20c = -30
10c = 10

Wie man direkt sieht ergibt sich ein Widerspruch. (Z.B. indem man die zweite Gleichung zweimal von der ersten abzieht, das ergibt 0 = -50)

Also sind auch f und k windschief, es gibt keinen Schnittpunkt und damit keine Kollision.

Answer 2

Aus Duplikatsfrage: Koordinatengleichung einer Ebene E: x=(20/30/14,2)+s(-3/-2/-4)+t(4/1/-7)

(Kontrollergebnis: 10x-5y+5z=121)

Meine Rechnung durch Kreuzprodukt:

n=10;5;5 = 10x+5y+5z

und dann noch -(10*20+5*30+5*14,2)

Das ist das problem! Da komm ich nicht auf die Musterlösung von 121 :(

n = [-3, -2, -4] ⨯ [4, 1, -7] = [18, -37, 5]

Hast du die Vektoren falsch gestellt ?

Comments

In der Original-Aufgabe steht

x = ( 20 / 30 / 14, 2 ) + r * ( -3 / -2 / 4 ) +s * ( 4 / 1 / -7 )

Bitte Aufgaben nicht mehrfach stellen.

n = [-3, -2, 4] ⨯ [4, 1, -7] = [10, -5, 5]

x * [10, -5, 5] = [20, 30, 14.2]·[10, -5, 5]
10x - 5y + 5z = 121

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oh danke. Mein Fehler lag in dem Vorzeichen Fehler von y, da hatte ich 5 statt -5.

Durch solche kleine Fehler dauern Aufgaben ewigkeiten bei mir :(

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Solche Fehler liegen meist an mangelnder Konzentration.

Um dem entgegenzuwirken, kann man auch für die einfachsten Rechnungen ein Taschenrechner benutzen. Zumindest um das Ergebnis nachher zu Kontrollieren.