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2 Helikopter sind gegeben :

Heli 1 = A ( 10 / 20 / 0,2 ) fliegt in Richtung B ( 40 / 40 / 0,2 )

und gleichzeitig fliegt Heli 2 von B ( 40 / 40 / 0,2 ) in Richtung D ( 5 / 35 / 0,15 )

Aufgabe : Heli 1 soll auf der HÀlfte der Strecke AB im Punkt M seinen Cours Àndern wegen einer Nebelfront ( Ebene )

--> Nebelfrontlage : E = x = ( 20 / 30 / 14, 2 ) + r* ( -3 / -2 / 4 ) +s* ( 4 / 1 / -7 )  ( natĂŒrlich alles in Vektorschreibweise )

Heli 1 fliegt nun von M aus ĂŒber C ( 25 / 45 / 0,25 ) nach B ( 40 / 40 / 0,2 ).

Berechne die LĂ€nge des zusĂ€tzlich zurĂŒckgelegten Weges durch die KursĂ€nderung.

Zeige, dass der Heli 1 den Kurs vor der Nebelfront Ă€ndert. Ermittle den Winkel zw. dem ursprĂŒnglichen & dem geĂ€nderten Kurs in M.

Weise nach, dass ein Zusammenstoß der beiden Helikopter, nach KursĂ€nderung von Heli 1, ausgeschlossen ist.

Puuuuh kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen ! Danke im Voraus :P

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Angaben aus Duplikatsfrage:

Nebelwand: E: x=(20/30/14,2)+s((-3/-2/4)+t(4/1/-7)

Startpunkt: (25/30/0,2) --- Zielpunkt:  (30/40/0,2)

Wie zeigt man durch Rechnung, dass der Heli parallel zur Nebelwand fliegt?

von
Ein Heli bewegt sich parallel zur Nebelfront wenn sein Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor der Nebelfront ist. Zwei Vektoren sind senkrecht, wenn das Skalarprodukt Null ist. Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren.

2 Antworten

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Beste Antwort

Als erstes berechnet man die Geradengleichung der ersten Bahn von Heli1: DafĂŒr braucht man den Richtungsvektor B-A:

v = B-A = (30, 20, 0)

Dann gilt fĂŒr die Geradengleichung:

g: x = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)

Die HĂ€lfte der Strecke ist bei t = 1/2 erreicht, also liegt der Punkt M bei:

M = (10, 20, 0.2) + 1/2*(30, 20, 0) = (25, 30, 0.2)

1.) Zeige dass der Heli den Kurs vor der Nebelfront Ă€ndert. Zu zeigen ist, dass der Schnittpunkt von g und E fĂŒr t einen Wert grĂ¶ĂŸer als 1/2 annimmt, dann liegt M vor der Nebelfront.

FĂŒr den Schnittpunkt mĂŒssen die beiden Ortsvektoren gleichgesetzt und die Parameter eliminiert werden:

(20, 30, 14.2) + r*(-3, -2, 4) + s*(4, 1, -7) = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)

Man erhÀlt drei Gleichungen:

20 -     3r + 4s = 10+30t
30 -     2r +   s = 20 + 20t
14.2 + 4r - 7s = 0.2

30t + 3r - 4s = 10  (I)
20t + 2r -   s = 10  (II)
       - 4r +7s = 14  (III)

Addiert man das (-2)fache der ersten Zeile zum dreifachen der zweiten Zeile, erhÀlt man:

30t + 3r - 4s = 10
                 5s = 10
        -4r +7s = 14

Also s = 2, eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt sich r = 0

Damit erhĂ€lt man fĂŒr die erste Gleichung:

30t - 8 = 10   |+8

30t = 18   |:3
10t = 6  |:10
t = 0.6 > 0.5

Also liegt M vor der Nebelfront.

2.) Ermittle den Winkel.

Jetzt brauchen wir den zweiten Richtungsvektor: Der lautet C-M:

w = C-M = (25, 45, 0.25)-(25, 30, 0.2) = (0, 15, 0.05)

FĂŒr den Winkel gilt:

cos φ = <v, w>/(|v|*|w|)
(Hier bedeutet <v, w> das Skalarprodukt zwischen den Vektoren, das kann ich ja hier leider nicht so gut mit Pfeilen ĂŒber den Buchstaben darstellen.)

<v, w> = (30, 20, 0)*(0, 15, 0.05) = 300

|v|ÂČ =  900 + 400 = 1300
|w|ÂČ = 225 + 0.0025 = 225.0025

|v|*|w| ≈ 540,836

cos φ ≈ 0.5547

φ ≈ 56.31°

3.) Berechne die LÀnge des zusÀtzlichen Weges:

Erstmal brauchen wir die LĂ€nge des alten Weges, die betrĂ€gt |v| ≈ 36.056
Die LĂ€nge des neuen Weges ist dann insgesamt:

L = |v|/2+|w|+|u|

Wenn u = B-C ist.
u = (40, 40, 0.2) - (25, 45, 0.25) = (15, -5, -0,05)
|u|ÂČ = 225 + 25 + 0.0025
|u| ≈ 15.811

Damit erhÀlt man:
L ≈ 48.839
und fĂŒr die Differenz:

d = L - |v| ≈ 12.783

4.) Jetzt mĂŒssen die Geraden f (vom 2. Heli), h (vom 1. Heli nach der ersten KursĂ€nderung) und k (vom 1. Heli nach der zweiten KursĂ€nderung) und jeweils deren Schnittpunkte berechnet werden. Damit die Hubschrauber nicht kollidieren können gibt es drei Möglichkeiten:

I) Die jeweiligen Geraden sind windschief und schneiden sich nicht.
II) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter kleiner als 0: dieser Punkt lÀge in der Vergangenheit und ist damit irrelevant.
III) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter grĂ¶ĂŸer als 1: dieser Punkt liegt hinter dem Zielpunkt und ist damit irrelevant.

f: x = (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05)

h: x = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05)

k: x = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05)

Schnittpunkte:

f und h: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05)   |-(25, 30, 0.2)

(15, 10, 0) + c*(35, 5, 0.05) = e*(0, 15, 0.05)

Ergibt das Gleichungssystem:

15 + 35c = 0
10 +   5c = 15e
     0.05c = 0.05e

Aus der dritten Gleichung folgt c=e. Das kann man in die zweite Gleichung einsetzen und erhÀlt:

10 + 5e = 15e  |-5e

10 = 10e  |:10

e = 1

Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich der Widerspruch 50 = 0. Also sind die Geraden windschief -> es gibt keinen Schnittpunkt und damit auch keine Kollision.

 

f und k: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05)  |-(25, 45, 0.25)

(15, -5, -0.05) + c*(35, 5, 0.05) = i*(15, -5, 0.05)

15 + 35c = 15i
-5  +   5c =  -5i
-0.05 + 0.05c = 0.05i

Dieses Mal erhÀlt man aus der letzten Gleichung: i= c-1 Eingesetzt in die anderen beiden Gleichungen:

15 + 35c = 15c - 15
-5 + 5c = -5c + 5

20c = -30
10c = 10

Wie man direkt sieht ergibt sich ein Widerspruch. (Z.B. indem man die zweite Gleichung zweimal von der ersten abzieht, das ergibt 0 = -50)

Also sind auch f und k windschief, es gibt keinen Schnittpunkt und damit keine Kollision.

von 10 k
0 Daumen

Aus Duplikatsfrage: Koordinatengleichung einer Ebene E: x=(20/30/14,2)+s(-3/-2/-4)+t(4/1/-7)

(Kontrollergebnis: 10x-5y+5z=121)

Meine Rechnung durch Kreuzprodukt:

n=10;5;5 = 10x+5y+5z

und dann noch -(10*20+5*30+5*14,2)

Das ist das problem! Da komm ich nicht auf die Musterlösung von 121 :(


n = [-3, -2, -4] ⚯ [4, 1, -7] = [18, -37, 5]

Hast du die Vektoren falsch gestellt ?

von 378 k 🚀

In der Original-Aufgabe steht

x = ( 20 / 30 / 14, 2 ) + r * ( -3 / -2 / 4 ) +s * ( 4 / 1 / -7 )

Bitte Aufgaben nicht mehrfach stellen.

n = [-3, -2, 4] ⚯ [4, 1, -7] = [10, -5, 5]

x * [10, -5, 5] = [20, 30, 14.2]·[10, -5, 5]
10x - 5y + 5z = 121

oh danke. Mein Fehler lag in dem Vorzeichen Fehler von y, da hatte ich 5 statt -5.

Durch solche kleine Fehler dauern Aufgaben ewigkeiten bei mir :(
Solche Fehler liegen meist an mangelnder Konzentration.

Um dem entgegenzuwirken, kann man auch fĂŒr die einfachsten Rechnungen ein Taschenrechner benutzen. Zumindest um das Ergebnis nachher zu Kontrollieren.

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