unterschiedlich orientierte Flächen

Question

Aufgabe:

Sei f eine Funktion mit \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+8 x \). Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die durch \( f \) und die \( x \)-Achse eingeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Ich wollte fragen ob jemand überprüfen kann ob ich das ruchtug gerechnet habe

Text erkannt:

\( x_{n}=3 \)
\( \begin{array}{l} f(x)=x^{3}-6 x^{2}+8 x \quad F(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{3}+4 x^{2}+c \\ \int \limits_{0}^{2}\left(x^{3}-6 x^{2}+8 x\right) d x=[F(x)]_{0}^{2}=\left[\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{3}+4 x^{2}+c\right]_{0}^{2}=F(2)-F(0) \\ =\left(\frac{1}{4} \cdot(2)^{4}-2 \cdot(2)^{3}+4 \cdot(2)^{2}+c\right)-\left(\frac{1}{4} \cdot(0)^{4}-2 \cdot(0)^{3}+4 \cdot(0)^{2}+c\right) \\ =4-0=|4| F E \\ \int \limits_{2}^{4}\left(x^{3}-6 x^{2}+8 x\right) d x=[F(x)]_{2}^{4}=\left[\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{3}+4 x^{2}+c\right]_{2}^{4}=F(4)-F(2) \\ =\left(\frac{1}{4} \cdot(4)^{4}-2 \cdot\left(\frac{34}{}\right)^{3}+4 \cdot(4)^{2}+c\right)-\left(\frac{1}{4} \cdot(2)^{4}-2 \cdot(2)^{3}+4 \cdot(2)^{2}+c\right) \\ =0-4=|-4| F E \\ \int \limits_{0}^{2}+\int \limits_{2}^{4} \leq|4|+|-4|=|8| F E \end{array} \)

Answer 1

Das ist richtig.

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+x%5E3-6x%5E2%2B8x+from+0+to+4

Answer 2

Dein Ergebnis ist richtig, allerdings ist (wie Du ja berechnet hast) \(\int\limits_2^4 ... =-4\) und das ist \(\neq 4\).

Für die Flächeninhalte kannst Du zwar das zweite Integral so berechnen (als \(-4\), nicht als \(4\)), musst aber dann in der Endabrechnung \(A=|\int\limits_0^2 ...| +|\int\limits_2^4 ....| = 4+4=8\) schreiben.

Mach Dir den Unterschied zwischen Integral und Flächeninhalt nochmal klar.

Comments

Ok mache ich

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Wegen der Symmetrie hätte es genügt, die Fläche von 0 bis 2 einfach zu verdoppeln.

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... nachdem man die Symmetrie nachgewiesen hat. Ob dieser Weg einfacher ist als das Ausrechnen der beiden Integrale (eines muss man ja eh ausrechnen) mag jeder für sich beurteilen.

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Wenn man es genau nimmt, hätte man auch noch die Nullstellen nachweisen müssen und nicht einfach ohne Nachweis verwenden können.

Answer 3

Das sieht gut aus. Gib deinen Zwischenergebnissen Namen, dann brauchst du unten nicht Integrale verwenden, die so nicht definiert sind. Also ohne Integrandenfunktion etc.

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 8·x = x·(x - 2)·(x - 4) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 4

F(x) = 1/4·x^4 - 2·x^3 + 4·x^2

A1 = ∫ (0 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(0) = 4 - 0 = 4

A2 = ∫ (2 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(2) = 0 - 4 = -4

A = |A1| + |A2| = 4 + 4 = 8

A1 und A2 sind dabei einfach gerichtete Flächeninhalte.

Die eckigen Klammern beim Integral kann man sich sparen, wenn man vorher die Stammfunktion einmal definiert. Dann spart man sich viel Schreibarbeit. Ebenso kann man f(x) direkt im Integral verwenden.