Lineare Abbildung - Ker und Im

Question

Aufgabe Sei F : A -> A eine lin. Abbildung auf einem endlichen(dim) Vektorraum A.

Zu zeigen: dass genau dann Im F = A gilt wenn Ker F = {0} ist. Bitte um Hilfe

Answer 1

Das folgt z.B. direkt aus dem Homorphiesatz, da ja gilt $$Im F\cong A/Ker F$$

Comments

kannst du das genauer erklären bzw. sonstige hilfeschritte zur Lösung der Aufgabe geben?

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Ganz ehrlich: Nein. Man kann den Beweis noch sauberer Aufschreiben, aber viel mehr ist da nicht zu tun. "kannst du genauer erklären" ist auch keine sonderlich hilfreich Rückmeldung, deutlich hilfreicher wäre eine Rückmeldung was genau unklar ist.

Answer 2

Eine andere Möglichkeit wäre der Dimensionssatz. Daraus folgt: \( \dim(A)=\dim\ker(f)+\dim \operatorname{im}(f)=0+\dim \operatorname{im}(f)=\dim \operatorname{im}(f)\).

Außerdem ist ja  \(\operatorname{im}(f)\) ein Untervektorraum von \(A\). Und weil \(\operatorname{im}(f)\) die selbe Dimension hat wie \(A\), muss \(A=\operatorname{im}(f)\) sein.