Stationärer Punkt von x^3 + y^3 -9xy + 27 finden

Question

Mann soll die stationären Punkte von f(x,y) = x³ + y³ - 9xy + 27 für 0≤x≤4 und 0≤y≤4 bestimmen.

Ich erhalte duch partielles Ableiten und einsetzen die Werte x=0 und x=3. In den Lösung steht jedoch, dass nur (3,3) ein stationärer Punkt ist. Wieso (0,0) nicht?

Answer 1

Hm, also ich erhalte auch nur den Punkt ( 3 , 3 )

So rechne ich:

∂ f (x , y ) / ∂ x = 3 x ² - 9 y

∂ f (x , y ) / ∂ y = 3 y ² - 9 x

Also Gleichungssystem:

3 x ² - 9 y = 0
3 y ² - 9 x = 0

<=>

3 x ² = 9 y
3 y ² = 9 x

<=>

x ² = 3 y
y ² = 3 x

Erste Gleichung nach x auflösen und den so erhaltenen Term für x in die zweite Gleichung einsetzen:

<=>

x = ± √ ( 3 y )
y ² = ±  3  * √ ( 3 y )

Ein Quadrat kann nicht negativ sein, also entfällt y ² = -  3  * √ ( 3 y ):

<=>

x = ± √ ( 3 y )
y ² =  3  * √ ( 3 y )

Zweite Gleichung quadrieren:

<=>

x = ± √ ( 3 y )
y ⁴ =  9  * 3 y = 27 y

und durch y dividieren:

<=>

x = ± √ ( 3 y )
y ³ = 27

Dritte Wurzel aus der zweiten Gleichung ziehen:

<=>

x = ± √ ( 3 y )
y = 3

Einsetzen des Wertes von y in die erste Gleichung:

<=>

x = ± √ ( 9 )
y = 3

<=>

x = ± 3
y = 3

Da 0 ≤ x ≤ 4 gelten soll, ist die einzige Lösung:

<=>

x = 3
y = 3

Answer 2

[0, 0, 27] müsste meiner Meinung nach auch ein stationärer Punkt sein, weil es ein Sattelpunkt ist.