Vorgehen? Prüfung auf Differenzierbarkeit von Wurzel. f(x) = √x.

Question

ich soll $$f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{ x }$$ auf Differenzierbarkeit an allen Punkten überprüfung und ggf. die Ableitung bilden.

Eine Funktion ist an einem Punkt x0 differenzierbar, wenn der Differentialquotient existiert.

Für x0 = 0:

$$\frac{ f(x) - f(0) }{ x - 0 } = \frac{ \sqrt{ x } }{ x } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } }$$

und $$\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } } = \infty$$, also existiert die Ableitung/ der Differentialquotient an der Stelle x0 = 0 nicht, oder?

Für x0 > 0:

$$\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 } = \frac{ \sqrt{ x } - \sqrt{ x_0 } }{ x - x_0 } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } + \sqrt{ x_0 } }$$

und $$\lim_{ x \rightarrow x_0 } \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } + \sqrt{ x_0 } } = \frac{ 1 }{ 2 \cdot \sqrt{ x_0 }}$$, also für x0 > 0 ist f differenzierbar.

Ist das richtig und auch die richtige Vorgehensweise? Haben dazu in der Vorlesung leider nicht wirklich Beispiele gemacht...

Danke,

Thilo

Answer 1

f ( x ) = √ x
Def- Bereich = [ 0 ; ∞ [  oder ℝ₀⁺

f ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x  )
Ausschließen 1 / 0, nicht definiert
2 * √ x = 0
x = 0
Def-Bereich = ] 0 ; ∞ [  oder ℝ⁺

Da x = 0 nicht im Def-Bereich der 1.Ableitung ist,
ist  f ( x ) für x = 0 auch nicht differenzierbar.

mfg Georg

Comments

Also habe ich alles richtig gemacht... Defintionsbereich war ja schon vorgegeben.

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georgborn: Kleiner Fehler bei der Ableitung: Da fehlt im Nenner eine 2.

Thilo: Ja, alles richtig.

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Okay, danke. Ich habe noch eine Frage: Muss ich immer prüfen, ob der Differenzialquotient existiert, um die Differenzierbarkeit zu überprüfen? Ich meine, bei vielen Funktionen wird das ja schon sehr schwer, z.B. schon n-te Wurzel x finde ich schwer.

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$\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$

Wenn die Potenzregel schon bewiesen wurde, kann man das damit locker ableiten.

Auch bei solchen Funktionen wie $x\mapsto \ln\left(1+\sqrt{x^{\sin(x)}}\right)$ wirst du wahrscheinlich mit dem Differentialquotienten nicht weiterkommen ;-). Aber wenn die ganzen Ableitungsregeln (Ketten-, Produkt-, Summen-, Quotienten-, ...regel) schon bewiesen wurden, dann ist das damit (fast) kein Problem.

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Also kann man mit den Ableitungsregeln auch die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle überprüfen? Also wenn im Definitionsbereich der Ableitung Stellen nicht definiert sind, dann ist die ursprüngliche Funktion an diesen Stellen nicht differenzierbar?

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Die Ableitungsregeln besagen ja: Wenn zwei Funktionen an einer Stelle differenzierbar sind, dann sind bestimmte Verknüpfungen dieser Funktionen (z.B. Produkt, Verkettung, Summe) an dieser Stelle differenzierbar.

Andersrum gilt das aber nicht. Wenn ein Produkt an einer Stelle differenzierbar ist, müssen noch nicht beide Faktoren an dieser Stelle differenzierbar sein. Z.B. ist die Funktion $x\mapsto 0\cdot |x|=0$ überalls differenzierbar, aber nicht die einzelnen Faktoren: Zwar ist $x\mapsto 0$ überall differenzierbar, aber $x\mapsto |x|$ ist nicht in 0 differenzierbar.

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  meine Orginalantwort habe ich korrigiert. mfg Georg