Frage: Wie finde ich die Kumulative Distribution (CDF) von X?

Question

Aufgabe:

Frage: Wie finde ich die Kumulative Distribution (CDF) von X?

Ich habe versucht ein Integral aufzustellen von 0 bis x und nach 1 aufzulösen, aber das alpha ist ein Problem.

Answer 1

Aloha :)

Der Vorfaktor der Exponentialfunktion ist bis auf das Vorzeichen die Ableitung des Argumentes, daher kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$F(x)=\int\limits_0^xf_X(t)\,dt=\int\limits_0^x\alpha^2t\cdot e^{-a^2t^2/2}dt=\left[-e^{-\alpha^2t^2/2}\right]_{t=0}^x=1-e^{-\alpha^2x^2/2}$$

Comments

Und das Ergebnis der Integralrechnung 1-e^(-a^2x^2/2) stellt dann die CDF dar? Theoretisch ist dies nur die Fläche oder? Oder muss ich diese Lösung am Ende nach 1 auflösen? Da die Fläche des CDF 1 sein muss.

Lg

---

Da die Fläche des CDF 1 sein muss.

Das Ergebnis 1 kommt erst raus, wenn x gegen unendlich geht.

---

Also ist 1-e^(-a2x²/2) die CDF von x, für x -> unendlich?

---

Also ist 1-e^(-a2x2/2) die CDF von x, für x -> unendlich?

Nein. 1-e^(-a2x2/2) ist die CDF von x für JEDES x>0.

Der konkrete Wert 1 wird nur dann erreicht, wenn x gegen unendlich geht.

---

Ja richtig, die Verteilungsfunktion ist die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichte. Im Ergennis erkennst du, dass von der $1$ immer ein Wert zwischen $0$ und $1$ subtrahiert wird. Für $x\to\infty$ geht die $e$-Funktion gegen Null und von der $1$ wird nichts mehr abgezogen. Daher ist die gesamte Fläche gleich $1$, wie es sich für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört.