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Aufgabe:

Seien X,Y unabhängig, identisch und Normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 4.

Was ist die Varianz von X2 + Y2 ?

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass Var(X2 + Y2) = Var(X2) + Var(Y2) wegen der unabhängigkeit und auch, dass E(X2) = 4 weil E(X) = 0 aber weiter komme ich nicht.

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Ich weiß ... auch, dass E(X2) = 4 weil E(X) = 0

Das tönt seltsam.

Var(X) = E(X2 ) - E(X)2

4 = E(X2) -02


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Die ZV Z=142(X2+Y2)Z=\frac{1}{4^2}(X^2+Y^2) ist χ2\chi^2-verteilt mit 2 Freiheitsgraden. Für eine χ2\chi^2-Verteilung mit nn Freiheitsgeraden beträgt die Varianz 2n2n. Weiterhin gilt Var(aX)=a2Var(X)\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X).

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