Wieso kann bei diese Substitution vom Integral so eingesetzt werden?

Question

Aufgabe:

Integriere mit der Substitutionsregel

Text erkannt:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$

Problem/Ansatz:

Was ist das für ein Schwachsinn. Ich muss diesen Formelsalat hier einfügen, anstatt das Bild hochzuladen.

Das wird doch viel unverständlicher für die lieben Beantworter sein. Naja, dann halt schriftlich :

Mein Prof. hat hier x(t) mit sin(t) substituiert und danach für die Wurzel aus (1 - sin²(t)) → cos(t) eingesetzt.

Außerdem hat er die Ableitung von x(t) berechnet (also cos(t)) und mit dx/dt gleichgesetzt. Vorher haben wir immer dt/dx gerechnet. Außerdem sind die Intervallgrenzen von 0 bis 1 zu arcsin(0) bis arcsin(1) geworden.

Ich verstehe nun nicht wieso er einfach sin durch x eintauschen kann und wieso die Intervallgrenzen so sind wie sie sind. Laut definition müssten sie doch die Ableitung von unserer Substitution sein oder verstehe ich hier etwas falsch?

Vielen Dank für jede Hilfe!!!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

In dem Integral$$I=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$muss $x\in(-1;1)$ gelten, damit die Wurzel in $\mathbb R$ definniert ist und der Nenner von Null verschieden ist. Da die Sinus-Funktion für Argumente aus $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ immer Werte aus $(-1;1)$ liefert, ist folgende Substitution zulässig:$$x(t)\coloneqq\sin(t)\quad;\quad t\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$$

Eine infinitesimal kleine Änderung $dt$ der neuen Variablen führt zu einer infinitesimal kleinen Änderung $dx$ der alten Variablen:$$\frac{dx}{dt}=\cos(t)=\sqrt{1-\sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2}\implies dx=\sqrt{1-x^2}\,dt$$

Wir setzen $dx$ unter dem Integral ein und erhalten dadurch einen Integrationsterm, der nur von der neuen Variablen $t$ abhängt:$$I=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2}\,dt=\int dt=t+C$$

Das Ergebnis der Integration können wir wieder durch die usprüngliche Variable $x$ ausdrücken:$$I=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x)+C$$

Comments

Schade das du noch nicht die Änderung der Intervallgrenzen für den Fragesteller erklärt hast.

Damit schien er ja auch Probleme zu haben.

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Wenn der Prof Intervallgrenzen substituiert hat, muss er ein bestimmtes Integral berechnet haben. Hier wurde jedoch ein unbestimmtes Integral gepostet. Daher habe ich die Intervallgrenzen lediglich in Form der möglichen Definitionsbereiche besprochen.

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Ich bezog mich auf das

Außerdem sind die Intervallgrenzen von 0 bis 1 zu arcsin(0) bis arcsin(1) geworden.

Es ist mir aber klar, dass notiert das unbestimmte Integral dort steht. Warum auch immer.

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Ich werde einfach nicht schlau draus, wieso wir einfach so sin für x einsetzen dürfen. Das verändert doch den gesamten Term oder bin ich bescheuert?

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Noch nie etwas von Integration durch Substitution gehört.

Du definierst die ein x welches dem Wert von SIN(t) entspricht.

Damit darfst du dann x durch SIN(t) ersetzen. Man beachte das dabei eben auch das dx ersetzt werden muss und auch die Grenzen wenn welche vorhanden sind.

https://studyflix.de/mathematik/integration-durch-substitution-1783

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Das hat mir schon sehr geholfen danke! Ich habe nicht genau verstanden, wieso man dx/dt mit der Ableitung gleichgesetzt hat. Aber ich denke, weil wir nur x substituieren anstatt wie sonst eine "innere Funktion. Ist das soweit richtig?

Aber wieso werden die grenzen dann nicht sin(0) und sin(1) sondern arcsin?

Tut mir leid, wenn ich euch nerve, aber ihr helft mir ungemein!

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wieso man dx/dt mit der Ableitung gleichgesetzt hat.

Bei der Substitution musst du das dx immer ersetzen, weil du danach ja eine andere Integrationsvariable hast.

Du kannst auch die Gleichung der Substitution nehmen

x = SIN(t)

und beide Seiten ableiten. Die Linke nach x und die rechte nach t.

1 dx = COS(t) dt

Das gibt dann die Gleichung wie du das dx ersetzen darfst.

Aber wieso werden die grenzen dann nicht sin(0) und sin(1) sondern arcsin?

Die vorherigen Grenzen waren x = 0 und x = 1

nun gilt aber

x = SIN(t) bzw. t = ARCSIN(x)

Also sind die neuen Grenzen

t = ARCSIN(0) = 0

t = ARCSIN(1) = pi/2

Answer 2

Er wendet den trigonometrischen Pythagoras an: es gilt $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ bzw. $\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}$. Jetzt erkennst du hoffentlich, warum $x(t)=\sin(t)$ gilt. Da der Ausdruck in der Form $x=\ldots$ vorliegt, ist es daher also sinnig, mittels $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{dt}}$ die Ableitung nach $x$ zu bestimmen, um das $\mathrm{d}x$ im Integral zu ersetzen. Sonst hat man häufig Substitutionen der Form $t=\ldots$. Weiterhin folgt aus der Gleichung oben, dass $t=\arcsin(x)$, weshalb dann die Grenzen $x_1=0$ und $x_2=1$ entsprechend angepasst werden müssen.

Falls es noch Unklarheiten gibt, frag gerne nach.

Comments

Den trigonometrischen Part habe ich schon verstanden. Aber was bedeutet "da der Ausdruck in der Form x = ... vorliegt" woran erkennt man das?

Vielen dank für deine Hilfe! :)

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Weil $x=\sin(t)$ und nicht $t=\arcsin(x)$ da steht. Genauso ist $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ die Ableitung von $x$ nach $t$, und die braucht man dann eben an dieser Stelle.