Zeigen Sie, dass K[[X]] als K[X]-Modul frei ist.

Question

Aufgabe:
Zeigen Sie, dass K[[X]] als K[X]-Modul frei ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, das ist das Gegenteil der in der Aufgabe von Eliass 123 (9.5.) gestellten Behauptung, deren "Lösung" ich zurückgezogen habe.

Mein Ansatz: Wir suchen ein freies Erzeugendensystem, in unserem Fall wird es unendlich sein. Ich würde das (überabzählbare) Erzeugendensystem E vorschlagen, das aus allen Potenzreihen besteht, wo ein Koffizient gleich 0 ist. Nun muss man zeigen, dass jede endliche Teilmenge von E frei ist.

Comments

Im Allgemeinen bin ich mir ziemlich sicher, dass die Aussage nicht stimmen sollte. Ich meine mich zu erinnern, dass $M=R[[X]]$ als $R[X]$-Modul nicht einmal projektiv für beliebige Ringe ist (was für $R=k$ äquivalent ist, da dann $k[X]$ ein Hauptidealring ist, wo dann projektiv äquivalent zu frei ist). Nur ein Beweis fällt mir leider nicht ein. Vielleicht könntest du versuchen ein passendes Gegenbeispiel zu finden, wo $\mathrm{Hom}(M,-)$ nicht exakt ist.

Falls ich hier Dine vertausche, lass es mich bitte wissen, diese Art von Algebra ist bei mir was her.