Im Allgemeinen bin ich mir ziemlich sicher, dass die Aussage nicht stimmen sollte. Ich meine mich zu erinnern, dass M=R[[X]] als R[X]-Modul nicht einmal projektiv für beliebige Ringe ist (was für R=k äquivalent ist, da dann k[X] ein Hauptidealring ist, wo dann projektiv äquivalent zu frei ist). Nur ein Beweis fällt mir leider nicht ein. Vielleicht könntest du versuchen ein passendes Gegenbeispiel zu finden, wo Hom(M,−) nicht exakt ist.
Falls ich hier Dine vertausche, lass es mich bitte wissen, diese Art von Algebra ist bei mir was her.