Aufgabe:
Text erkannt:
Zeigen Sie, dass für je zwei Vektoren x \mathbf{x} x und y \mathbf{y} y eines Euklidischen Vektorraums V V V gilt:∥x−y∥2=∥x∥2+∥y∥2⇔x orthogonal zu y \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{2}=\|\mathbf{x}\|^{2}+\|\mathbf{y}\|^{2} \Leftrightarrow \mathbf{x} \text { orthogonal zu } \mathbf{y} ∥x−y∥2=∥x∥2+∥y∥2⇔x orthogonal zu y
Wie ist denn in einem Euklidischen V die Norm ||.|| definiert?
Kein Interesse an einer Antwort?
steht leider sowas nicht
Hallo
Normalerweise ist die Norm über das Skalarprodukt definiert, also rechne einfach aus ||x-y||= (x-y)*(x-y) Skalarprodukt und benutze x,y orthogonal folgt x*y=0 und umgekehrt.
Gruß lul
Mit ∣∣x∣∣2=⟨x,x⟩||x||^2=\langle x, x \rangle∣∣x∣∣2=⟨x,x⟩ und ⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0⟨x,y⟩=0, falls x⊥yx \perp yx⊥y, ist das eine sehr einfache Rechnung. Nutze die Linearität des Skalarprodukts.
Fange also an: ∣∣x−y∣∣2=⟨x−y,x−y⟩=…||x-y||^2=\langle x-y, x-y \rangle=\ldots ∣∣x−y∣∣2=⟨x−y,x−y⟩=…
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